Một hình phẳng được tạo thành từ đường cong lemniscate (đường cong...

The Professor · 28/12/21

Câu hỏi: Một hình phẳng được tạo thành từ đường cong lemniscate (đường cong số

8

của Bernoulli) có phương trình trong hệ tọa độ

O x y

là

x^{4} = a^{2} (x^{2} - y^{2}) (a > 0)

như hình vẽ bên. Biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ

O x y

tương ứng với chiều dài

1 m

và hình phẳng này có diện tích là

\frac{49}{3} (m^{2})

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

1 < a < 2

.
B.

2 < a < 3

.
C.

3 < a < 4

.
D.

4 < a < 5

.

Ta có

x^{4} = a^{2} (x^{2} - y^{2}) \Leftrightarrow a^{2} y^{2} = a^{2} x^{2} - x^{4}

\Leftrightarrow y = \pm \frac{1}{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}}

.
Vì tính đối xứng của hình trên nên diện tích của hình phẳng bằng

4

lần diện tích của miền hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ

O x y

.
Do đó

S = 4 (\int_{0}^{a} \frac{1}{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x)

.Đặt

t = \sqrt{a^{2} - x^{2}} \Rightarrow t^{2} = a^{2} - x^{2} \Rightarrow t d t = - x d x

.
Đổi cận

x = 0 \Rightarrow t = a; x = a \Rightarrow t = 0

.

S = 4 (\int_{0}^{a} \frac{1}{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x) = \frac{4}{a} (\int_{0}^{a} t^{2} d t) = \frac{4}{a} . {\frac{t^{3}}{3} |}_{0}^{a} = \frac{4 a^{2}}{3}

.
Đề cho

S = \frac{49}{3}

nên

a = \frac{7}{2}

\Rightarrow 3 < a < 4

.

Đáp án C.