Google
Câu hỏi: Một hình phẳng được tạo thành từ đường cong lemniscate (đường cong số $8$ của Bernoulli) có phương trình trong hệ tọa độ $Oxy$ là ${{x}^{4}}={{a}^{2}}\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)(a>0)$ như hình vẽ bên. Biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ $Oxy$ tương ứng với chiều dài $1 m$ và hình phẳng này có diện tích là $\dfrac{49}{3}\left( {{m}^{2}} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $1<a<2$.
B. $2<a<3$.
C. $3<a<4$.
D. $4<a<5$.
A. $1<a<2$.
B. $2<a<3$.
C. $3<a<4$.
D. $4<a<5$.
Ta có ${{x}^{4}}={{a}^{2}}\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}{{y}^{2}}={{a}^{2}}{{x}^{2}}-{{x}^{4}}$ $\Leftrightarrow y=\pm \dfrac{1}{a}x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$.
Vì tính đối xứng của hình trên nên diện tích của hình phẳng bằng $4$ lần diện tích của miền hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ $Oxy$.
Do đó $S=4\left( \int\limits_{0}^{a}{\dfrac{1}{a}x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx} \right)$.Đặt $t=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{t}^{2}}={{a}^{2}}-{{x}^{2}}\Rightarrow tdt=-xdx$.
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=a; x=a\Rightarrow t=0$.
$S=4\left( \int\limits_{0}^{a}{\dfrac{1}{a}x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx} \right)=\dfrac{4}{a}\left( \int\limits_{0}^{a}{{{t}^{2}}dt} \right)=\dfrac{4}{a}.\left. \dfrac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{a}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}$.
Đề cho $S=\dfrac{49}{3}$ nên $a=\dfrac{7}{2}$ $\Rightarrow 3<a<4$.
Vì tính đối xứng của hình trên nên diện tích của hình phẳng bằng $4$ lần diện tích của miền hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ $Oxy$.
Do đó $S=4\left( \int\limits_{0}^{a}{\dfrac{1}{a}x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx} \right)$.Đặt $t=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{t}^{2}}={{a}^{2}}-{{x}^{2}}\Rightarrow tdt=-xdx$.
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=a; x=a\Rightarrow t=0$.
$S=4\left( \int\limits_{0}^{a}{\dfrac{1}{a}x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx} \right)=\dfrac{4}{a}\left( \int\limits_{0}^{a}{{{t}^{2}}dt} \right)=\dfrac{4}{a}.\left. \dfrac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{a}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}$.
Đề cho $S=\dfrac{49}{3}$ nên $a=\dfrac{7}{2}$ $\Rightarrow 3<a<4$.
Đáp án C.