Google
Câu hỏi: Một hình nón nằm trong một hình trụ sao cho đáy của hình nón trùng với một đáy của hình trụ còn đỉnh của hình nón trùng với tâm của đáy còn lại của hình trụ. Biết tỉ số của diện tích toàn phần của hình trụ và diện tích toàn phần của hình nón là $\dfrac{7}{4}$, tính tỉ số của chiều cao và bán kính đáy của hình trụ.
A. $\dfrac{12}{5}.$
B. $\dfrac{5}{12}.$
C. $\dfrac{3}{4}.$
D. $\dfrac{4}{3}.$
Gọi độ dài bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là $r$, $h$ (với $r,h>0$ ).
Gọi độ dài đường sinh của hình nón là $l$ (với $l>0$ ).
Ta có: $\dfrac{7}{4}=\dfrac{2\pi {{r}^{2}}+2\pi rh}{\pi {{r}^{2}}+\pi rl}\Leftrightarrow \dfrac{7}{4}=\dfrac{2\left( r+h \right)}{r+l}$.
$\Leftrightarrow 7\left( r+l \right)=8\left( r+h \right)\Leftrightarrow r+8h=7\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}$.
$\Leftrightarrow {{\left( r+8h \right)}^{2}}=7\left( {{r}^{2}}+{{h}^{2}} \right)\Leftrightarrow 15{{h}^{2}}+16rh-48{{r}^{2}}=0$.
$\Leftrightarrow 15{{\left( \dfrac{h}{r} \right)}^{2}}+16\dfrac{h}{r}-48=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{h}{r}=\dfrac{4}{3} \\
& \dfrac{h}{r}=-\dfrac{12}{5}<0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\dfrac{h}{r}=\dfrac{4}{3}$.
A. $\dfrac{12}{5}.$
B. $\dfrac{5}{12}.$
C. $\dfrac{3}{4}.$
D. $\dfrac{4}{3}.$
Gọi độ dài đường sinh của hình nón là $l$ (với $l>0$ ).
Ta có: $\dfrac{7}{4}=\dfrac{2\pi {{r}^{2}}+2\pi rh}{\pi {{r}^{2}}+\pi rl}\Leftrightarrow \dfrac{7}{4}=\dfrac{2\left( r+h \right)}{r+l}$.
$\Leftrightarrow 7\left( r+l \right)=8\left( r+h \right)\Leftrightarrow r+8h=7\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}$.
$\Leftrightarrow {{\left( r+8h \right)}^{2}}=7\left( {{r}^{2}}+{{h}^{2}} \right)\Leftrightarrow 15{{h}^{2}}+16rh-48{{r}^{2}}=0$.
$\Leftrightarrow 15{{\left( \dfrac{h}{r} \right)}^{2}}+16\dfrac{h}{r}-48=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{h}{r}=\dfrac{4}{3} \\
& \dfrac{h}{r}=-\dfrac{12}{5}<0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\dfrac{h}{r}=\dfrac{4}{3}$.
Đáp án D.