Google
Câu hỏi: Một hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,AB=a, A{A}'=2a.$ Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ là:
A. $2a\sqrt{5}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{5}}{5}$.
Trong mặt phẳng $\left( {A}'AB \right)$ kẻ $AH\bot {A}'B \left( 1 \right).$
Ta có
$\left. \begin{aligned}
& \Delta ABC \text{vuông} tạiB\Rightarrow AB\bot BC \\
& ABC.A{B}'{C}' là\ lăng\ trụ\ đứng\Rightarrow A{A}'\bot BC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( {A}'AB \right)\Rightarrow BC\bot AH \left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $AH\bot \left( {A}'AB \right)\Rightarrow \text{d}\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AH.$
Trong $\Delta {A}'AB$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ ta có
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.A{A}'}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{{{A}'}}^{2}}}}=\dfrac{a.2a}{\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
A. $2a\sqrt{5}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{5}}{5}$.
Ta có
$\left. \begin{aligned}
& \Delta ABC \text{vuông} tạiB\Rightarrow AB\bot BC \\
& ABC.A{B}'{C}' là\ lăng\ trụ\ đứng\Rightarrow A{A}'\bot BC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( {A}'AB \right)\Rightarrow BC\bot AH \left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $AH\bot \left( {A}'AB \right)\Rightarrow \text{d}\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AH.$
Trong $\Delta {A}'AB$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ ta có
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.A{A}'}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{{{A}'}}^{2}}}}=\dfrac{a.2a}{\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
Đáp án B.