Google
Câu hỏi: Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi độc lập. Mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, câu trả lời sai được 0 điểm. Học sinh $A$ làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 50 câu hỏi. Biết xác suất làm đúng $k$ câu hỏi của học sinh $A$ đạt giá trị lớn nhất, khi đó giá trị $k$ bằng
A. 11.
B. 10.
C. 13.
D. 12.
A. 11.
B. 10.
C. 13.
D. 12.
Gọi $B$ là biến cố “Làm đúng $k$ câu hỏi của học sinh $A$ ”.
Xác suất để làm đúng một câu là $\dfrac{1}{4}$, xác suất để làm sai một câu là $\dfrac{3}{4}$
Theo quy tắc nhân xác suất ta có xác suất của biến cố $B$ là ${{P}_{k}}\left( B \right)=C_{50}^{k}\dfrac{1}{{{4}^{k}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50-k}}=\dfrac{C_{50}^{k}}{{{3}^{k}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50}}$.
Xét bất phương trình ${{P}_{k}}\left( B \right)\ge {{P}_{k+1}}\left( B \right)\Leftrightarrow \dfrac{C_{50}^{k}}{{{3}^{k}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50}}\ge \dfrac{C_{50}^{k+1}}{{{3}^{k+1}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50}}\Leftrightarrow 3C_{50}^{k}\ge C_{50}^{k+1}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3.50!}{k!\left( 50-k \right)!}\ge \dfrac{50!}{\left( k+1 \right)!\left( 49-k \right)!}\Leftrightarrow 3\left( k+1 \right)!\left( 49-k \right)!\ge k!\left( 50-k \right)!\Leftrightarrow 3\left( k+1 \right)\ge 50-k\Leftrightarrow k\ge \dfrac{47}{4}$
Xét bất phương trình ${{P}_{k-1}}\left( B \right)\le {{P}_{k}}\left( B \right)\Leftrightarrow \dfrac{C_{50}^{k-1}}{{{3}^{k-1}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50}}\le \dfrac{C_{50}^{k}}{{{3}^{k}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50}}\Leftrightarrow 3C_{50}^{k-1}\le C_{50}^{k}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3.50!}{\left( k-1 \right)!\left( 51-k \right)!}\le \dfrac{50!}{k!\left( 50-k \right)!}\Leftrightarrow 3.k!\left( 50-k \right)!\le \left( k-1 \right)!\left( 51-k \right)!\Leftrightarrow 3k\le 51-k\Leftrightarrow k\le \dfrac{51}{4}$
Khi đó $\dfrac{47}{4}\le k\le \dfrac{51}{4}$ mà $k\in \mathbb{N}*\Rightarrow k=12$.
Vậy Xác suất làm đúng $k$ câu hỏi của học sinh $A$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{C_{50}^{12}{{3}^{38}}}{{{4}^{50}}}$ xảy ra khi $k=12$.
Xác suất để làm đúng một câu là $\dfrac{1}{4}$, xác suất để làm sai một câu là $\dfrac{3}{4}$
Theo quy tắc nhân xác suất ta có xác suất của biến cố $B$ là ${{P}_{k}}\left( B \right)=C_{50}^{k}\dfrac{1}{{{4}^{k}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50-k}}=\dfrac{C_{50}^{k}}{{{3}^{k}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50}}$.
Xét bất phương trình ${{P}_{k}}\left( B \right)\ge {{P}_{k+1}}\left( B \right)\Leftrightarrow \dfrac{C_{50}^{k}}{{{3}^{k}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50}}\ge \dfrac{C_{50}^{k+1}}{{{3}^{k+1}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50}}\Leftrightarrow 3C_{50}^{k}\ge C_{50}^{k+1}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3.50!}{k!\left( 50-k \right)!}\ge \dfrac{50!}{\left( k+1 \right)!\left( 49-k \right)!}\Leftrightarrow 3\left( k+1 \right)!\left( 49-k \right)!\ge k!\left( 50-k \right)!\Leftrightarrow 3\left( k+1 \right)\ge 50-k\Leftrightarrow k\ge \dfrac{47}{4}$
Xét bất phương trình ${{P}_{k-1}}\left( B \right)\le {{P}_{k}}\left( B \right)\Leftrightarrow \dfrac{C_{50}^{k-1}}{{{3}^{k-1}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50}}\le \dfrac{C_{50}^{k}}{{{3}^{k}}}{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{50}}\Leftrightarrow 3C_{50}^{k-1}\le C_{50}^{k}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3.50!}{\left( k-1 \right)!\left( 51-k \right)!}\le \dfrac{50!}{k!\left( 50-k \right)!}\Leftrightarrow 3.k!\left( 50-k \right)!\le \left( k-1 \right)!\left( 51-k \right)!\Leftrightarrow 3k\le 51-k\Leftrightarrow k\le \dfrac{51}{4}$
Khi đó $\dfrac{47}{4}\le k\le \dfrac{51}{4}$ mà $k\in \mathbb{N}*\Rightarrow k=12$.
Vậy Xác suất làm đúng $k$ câu hỏi của học sinh $A$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{C_{50}^{12}{{3}^{38}}}{{{4}^{50}}}$ xảy ra khi $k=12$.
Đáp án D.