Một bình chứa các viên bi đủ bốn màu: đỏ, trắng, xanh và lam. Lấy...

Gọi $r, w, g, b$ lần lượt là số viên bi màu đỏ, thắng, xanh và lam.
Điều kiện $r, w, g, b\in \mathbb{N}*; r\ge 4$
Suy ra tổng số bi là $n=r+w+g+b$
Do đó, số cách lấy bốn viên bi từ trong bình là $C_{n}^{4}$.
Số cách lấy được bốn viên bi màu đỏ là $C_{r}^{4}$.
Số cách lấy được một viên bi màu trắng và ba viên bi màu đỏ là $C_{w}^{1}C_{r}^{3}$.
Số cách lấy được một viên bi màu trắng, một viên màu xanh và hai viên màu đỏ là $C_{w}^{1}C_{g}^{1}C_{r}^{2}$
Số cách lấy được bốn viên bi có đủ cả bốn màu là $C_{w}^{1}C_{g}^{1}C_{r}^{1}C_{b}^{1}$
Theo giả thiết, ta có $\dfrac{C_{r}^{4}}{C_{n}^{4}}=\dfrac{C_{w}^{1}C_{r}^{3}}{C_{n}^{4}}=\dfrac{C_{w}^{1}C_{g}^{1}C_{r}^{2}}{C_{n}^{4}}=\dfrac{C_{w}^{1}C_{g}^{1}C_{r}^{1}C_{b}^{1}}{C_{n}^{4}}$
Giải hệ ra ta được $\left\{ \begin{aligned}
& r-3=4w \\
& r-2=3g \\
& r-1=2b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& r+1=4\left( w+1 \right) \\
& r+1=3\left( g+1 \right) \\
& r+1=2\left( b+1 \right) \\
\end{aligned} \right.$. Ta tìm số nguyên dương r nhỏ nhất sao cho w, g, b cũng là các số nguyên dương.
Xét $r+1$ là bội chung nhỏ nhất của 4, 3 và 2, tức là $r+1=12\Leftrightarrow r=11$.
Thử lại thấy $w=2, g=3, b=5$ đều là các số nguyên dương.
Vậy số bi nhỏ nhất cần tìm là $n=21$.