Lý thuyết đại cương về phương trình

Câu hỏi: Lý thuyết về đại cương về phương trình
Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình một ẩn
+ Phương trình một ẩn số \(x\) là mệnh đề chứa biến có dạng:
\(f(x) = g(x)\)     (1)
trong đó \(f(x), g(x)\) là các biểu thức cùng biến số \(x\). Ta gọi \(f(x)\) là vế trái, \(g(x)\) là vế phải của phương trình.
+ Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện của biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.
+ Nếu có số \(x_0\) thỏa mãn ĐKXĐ và \(f(x_0)= g(x_0)\) là mệnh đề đúng thì ta nói số \(x_0\) nghiệm đúng phương trình (1) hay \(x_0\) là một nghiệm của phương trình (1). Một phương trình có thể có nghiệm, có thể vô nghiệm. Ví dụ: \(2\) là một nghiệm của phương trình: \(2 = 3x - x^2\).
2. Phương trình trương đương
Hai phương trình
\({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left(x \right)\) (1)
\({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left(x \right)\) (2)
được gọi là tương đương, kí hiệu \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left(x \right)⇔ {f_2}\left(x \right) = {g_2}\left(x \right)\) nếu các tập nghiệm của (1) và (2) bằng nhau.
Định lí:
a) Nếu \(h(x)\) là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình \(f(x) = g(x)\) thì
\(f(x) + h(x) = g(x) + h(x) \)\(⇔ f(x) = g(x)\).
b) Nếu \(h(x)\) thỏa mãn ĐKXĐ và khác \(0\) với mọi \(x\) thỏa mãn ĐKXĐ thì
\(f(x). H(x) = g(x). H(x)  ⇔ f(x) = g(x)\)
\(\dfrac{f(x)}{h(x)}=\dfrac{g(x)}{h(x)}  ⇔ f(x) = g(x)\).
3. Phương trình hệ quả
Phương trình \({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left(x \right)\) là phương trình hệ quả của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left(x \right)\), kí hiệu
\({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left(x \right)\) \(\Rightarrow \)\({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left(x \right)\)
nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.
Ví dụ: \(2x = 3 - x \Rightarrow (x - 1)(x + 2) = 0\).