Lý thuyết cấp số cộng

Câu hỏi: 1. Định nghĩa
\(u_n\) là cấp số cộng nếu \(u_{n+1}=u_n+ d\) với \(n\in {\mathbb N}^*\), \(d\) là hằng số.
Công sai \(d =  u_{n+1}-u_n\)
Ví dụ:
Dãy số \(3; 6; 9; 12; 15\) là một cấp số cộng vì:
\(\begin{array}{l}6 = 3 + 3\\9 = 6 + 3\\12 = 9 + 3\\15 = 12 + 3\end{array}\)
Đây là CSC có công sai \(d = 4\) và số hạng đầu \({u_1} = 3\).
2. Số hạng tổng quát
\(u_n= u_1+ (n – 1)d, (n ≥ 2)\).
\(d =  \dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}\).
Ví dụ:
Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} =  - 1, d = 3\). Tìm \({u_{20}}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_{20}} = {u_1} + \left( {20 - 1} \right)d\\ = {u_1} + 19d\\ =  - 1 + 19.3\\ = 56\end{array}\)
3. Tính chất
\(u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k ≥ 2\) hay \(u_{k+1}+u_{k-1}= 2u_k\)
Ví dụ:
Cho ba số \(3; x; 9\) theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm \(x\).
Ta có: \(x = \frac{{3 + 9}}{2} = 6\).
Vậy \(x = 6\).
4. Tổng \(n\) số hạng đầu
\(S_n=  \dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}\), với \(n\in {\mathbb N}^*\)
hoặc \({S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\)
hoặc \({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)
Ví dụ:
Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} =  - 1, d = 3\). Tính \({S_{20}}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{20}} = 20{u_1} + \frac{{20.\left( {20 - 1} \right)}}{2}. D\\ = 20.\left({ - 1} \right) + \frac{{20.19}}{2}. 3\\ = 550\end{array}\)