Kí hiệu $S$ là tập tất cả số nguyên $m$ sao cho phương trình...

${{3}^{{{x}^{2}}+mx+1}}=\left( 3+mx \right){{3}^{9x}}\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}+mx+1-9x}}-\left( 3+mx \right)=0\left( 1 \right)$
Để phương trình có nghiệm $3+mx>0$ (do ${{3}^{{{x}^{2}}+mx+1-9x}}>0,\forall x\in \mathbb{R}$ )
Khi đó, $3+mx>0\Leftrightarrow m>\dfrac{-3}{x}\Leftrightarrow m>-3(do1<x<9)$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{{{x}^{2}}+mx+1-9x}}-\left( 3+mx \right)$
Đạo hàm: $f'\left( x \right)=\ln 3.\left( 2x+m-9 \right){{3}^{{{x}^{2}}+mx+1-9x}}-m$
Đạo hàm cấp 2: $f''\left( x \right)=\ln {{3.2.3}^{{{x}^{2}}+mx+1-9x}}+{{\left( \ln 3.\left( 2x+m-9 \right) \right)}^{2}}{{3}^{{{x}^{2}}+mx+1-9x}}>0$
Do đó ${{f}^{'}}\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow {{f}^{'}}\left( x \right)=0$ có nhiều nhất một nghiệm $\Rightarrow f\left( x \right)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm.
Mặt khác $x=0$ là một nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ nên để phương trình này có nghiệm $x\in \left( 1;9 \right)$ thì $\left( 1 \right)$ phải có đúng một nghiệm $x\in \left( 1;9 \right)$
$\Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 9 \right)<0\Leftrightarrow \left( {{3}^{m-7}}-3-m \right)\left( {{3}^{1+m}}-3-9m \right)<0$
Giải ra ta được $m\in \left\{ -2;-1;1;....;9 \right\}$ có 11 giá trị.