Google
Câu hỏi: Khai triển: ${{\left( \sqrt{10}+\sqrt[8]{3} \right)}^{300}}=C_{300}^{0}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{300}}+C_{300}^{1}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{299}}\left( \sqrt[8]{3} \right)+...+C_{300}^{300}{{\left( \sqrt[8]{3} \right)}^{300}}.$
Đặt ${{a}_{i}}=C_{300}^{i}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{300-i}};\ i=0;1;...;300$. Trong các số hạng ${{a}_{i}},i=0;1;...;300$ có bao nhiêu số hạng là số hữu tỉ?
A. 36.
B. 37.
C. 38.
D. 39.
Đặt ${{a}_{i}}=C_{300}^{i}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{300-i}};\ i=0;1;...;300$. Trong các số hạng ${{a}_{i}},i=0;1;...;300$ có bao nhiêu số hạng là số hữu tỉ?
A. 36.
B. 37.
C. 38.
D. 39.
Số hạng tổng quát trong khai triển của biểu thức đã cho là: $C_{300}^{k}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{300-k}}{{\left( \sqrt[8]{3} \right)}^{k}}$.
Để số hạng này là số hữu tỉ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \left( 300-k \right)\vdots 2 \\
& k\vdots 8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow k\vdots 8$.
Lại do $0\le k\le 300$ và $k\in \mathbb{N}$ nên từ số 0 đến 300 có đúng $\left[ \dfrac{300}{8} \right]+1=38$ số chia hết cho 8.
Để số hạng này là số hữu tỉ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \left( 300-k \right)\vdots 2 \\
& k\vdots 8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow k\vdots 8$.
Lại do $0\le k\le 300$ và $k\in \mathbb{N}$ nên từ số 0 đến 300 có đúng $\left[ \dfrac{300}{8} \right]+1=38$ số chia hết cho 8.
Đáp án C.