Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số mà tổng các chữ số bằng 4?

Gọi số cần lập là $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}}\left( {{a}_{1}}\ne 0 \right)$ khi đó ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}+{{a}_{7}}=4$.
Th1: Số 4000000 có 1 số.
TH2: Có 2 số khác 0 và các số còn lại bằng 0, ta có $4=3+1=2+2$.
Có 3 cách chọn ${{a}_{1}}=\left\{ 1;2;3 \right\}$ tương ứng có 6 cách chọn và sắp xếp các số ${{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}},{{a}_{6}},{{a}_{7}}$ suy ra trường hợp này có $6.3=18$ số.
TH3: Có 3 số khác 0 và các số còn lại bằng 0, ta có $4=2+1+1$
Nếu ${{a}_{1}}=2$ áp dụng công thức hoán vị lặp có $\dfrac{6!}{4!.2!}=15$ cách sắp xếp các số còn lại.
Nếu ${{a}_{1}}=1$ áp dụng công thức hoán vị lặp có $\dfrac{6!}{4!}=30$ cách sắp xếp các số còn lại.
Suy ra trường hợp này có $15+30=45$ số.
TH4: Có 4 số khác 0 và các số còn lại bằng 0, ta có $4=1+1+1+1$
Ta có ${{a}_{1}}=1$ và có $\dfrac{6!}{3!.3!}=20$ cách sắp xếp các số còn lại nên trường hợp này có 20 số
Theo quy tắc cộng có tất cả $1+18+45+20=84$ số.