Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$. Có...

Đồ thị của hàm số $y=\left| f\left( x+1 \right)+m \right|$ được suy ra từ đồ thị $\left( C \right)$ ban đầu như sau:
+ Tịnh tiến $\left( C \right)$ sang trái một đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên (hay xuống dưới) $m$ đơn vị. Ta được đồ thị $\left( {{C}'} \right):y=f\left( x+1 \right)+m$.
+ Phần đồ thị $\left( {{C}'} \right)$ nằm dưới trục hoành, lấy đối xứng qua trục $Ox$ ta được đồ thị của hàm số $y=\left| f\left( x+1 \right)+m \right|$.
Ta được bảng biến thiên của của hàm số $y=\left| f\left( x+1 \right)+m \right|$ như sau.



Để hàm số $y=\left| f\left( x+1 \right)+m \right|$ có $5$ điểm cực trị thì đồ thị của hàm số $\left( {{C}'} \right):y=f\left( x+1 \right)+m$ phải cắt trục $Ox$ tại $2$ hoặc $3$ giao điểm.
+ TH1: Tịnh tiến đồ thị $\left( {{C}'} \right):y=f\left( x+1 \right)+m$ lên trên. Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& -3+m\ge 0 \\
& -6+m<0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow $ $ 3\le m<6$.
+ TH2: Tịnh tiến đồ thị $\left( {{C}'} \right):y=f\left( x+1 \right)+m$ xuống dưới. Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& m<0 \\
& 2+m\le 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow $ $ m\le -2$.
Vậy có ba giá trị nguyên dương của $m$ là $3;4;5$.