Hình phằng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi đồ thị $\left( C...

Giả sử $\left( C \right):y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \left( a\ne 0 \right)$.
Vì $\left( C \right)$ đi qua các điểm $A\left( -1;-2 \right),B\left( 0;2 \right)$, $C\left( 1 ;0 \right), D\left( 2 ;-2 \right)$,ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& -a+b-c+d=-2 \\
& d=2 \\
& a+b+c+d=0 \\
& 8a+4b+2c+d=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-3 \\
& c=0 \\
& d=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( C \right):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$.
Giả sử $\left( P \right):y=m{{x}^{2}}+nx+q \left( m\ne 0 \right)$.
Vì $\left( P \right)$ đi qua các điểm $A\left( -1;-2 \right),E\left( 1;0 \right)$, $D\left( 2 ;-2 \right)$,ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& m-n+q=-2 \\
& m+n+q=0 \\
& 4m+2n+q=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& n=1 \\
& q=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( P \right):y=-{{x}^{2}}+x$.
Dựa vào đồ thị của $\left( C \right)$ và $\left( P \right)$,ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:
$\begin{aligned}
& {{S}_{hp}}=\int\limits_{-1}^{1}{\left[ {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2-\left( -{{x}^{2}}+x \right) \right]}dx+\int\limits_{1}^{2}{\left[ -{{x}^{2}}+x-\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2 \right) \right]dx}= \\
& =\int\limits_{-1}^{1}{\left[ {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right]}dx+\int\limits_{1}^{2}{\left[ -{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x-2 \right]dx}=\dfrac{37}{12}. \\
\end{aligned}$