Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của...

Gọi chiều cao của hình nón là $x$, $\left( 0<x<2R \right)$.Gọi bán kính đáy của hình nón là $r$ ta có
${{r}^{2}}=O{{M}^{2}}-O{{H}^{2}}$ $={{R}^{2}}-{{\left( x-R \right)}^{2}}$ $=2Rx-{{x}^{2}}$ $=x\left( 2R-x \right)$.
Cách 1:
Thể tích của hình nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.x$ $=\dfrac{1}{3}\pi {{x}^{2}}\left( 2R-x \right)$.
Mặt khác ta lại có $\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}.\left( 2R-x \right)\le {{\left( \dfrac{\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+2R-x}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{8{{R}^{3}}}{27}$.
Khi đó $V=\dfrac{1}{3}\pi {{x}^{2}}\left( 2R-x \right)\le \dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$.
Vậy $\max V=\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$, dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{x}{2}=2R-x$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{4R}{3}$.
Cách 2.
Thể tích của hình nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.x$ $=\dfrac{1}{3}\pi {{x}^{2}}\left( 2R-x \right)$.
Xét hàm $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\pi \left( 2R{{x}^{2}}-{{x}^{3}} \right)$ trên $\left( 0;2R \right)$,
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\pi \left( 4Rx-3{{x}^{2}} \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{4R}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt khác $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=0; \underset{x\to {{\left( 2R \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=0; f\left( \dfrac{4R}{3} \right)=\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$.
Vậy $\max V=\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$ khi chiều cao $x=\dfrac{4R}{3}$.