Google
Câu hỏi: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $AB=a$, $SA\bot \left( ABCD \right)$, SC tạo với mặt đáy một góc 45. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng $a\sqrt{2}$. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
A. $2{{a}^{3}}$.
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
A. $2{{a}^{3}}$.
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD và I là trung điểm của SC.
Khi đó $OI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow IA=IB=IC=ID$ mà $\Delta SAC$ vuông cân tại A $\left( IA=IS=IC \right)$ .
Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD suy ra $IA=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=2a\sqrt{2}$.
Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}=45{}^\circ $.
Suy ra $\Delta SAC$ vuông cân.
Do đó $SA=SC=2a\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a.a.a\sqrt{3}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Khi đó $OI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow IA=IB=IC=ID$ mà $\Delta SAC$ vuông cân tại A $\left( IA=IS=IC \right)$ .
Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD suy ra $IA=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=2a\sqrt{2}$.
Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}=45{}^\circ $.
Suy ra $\Delta SAC$ vuông cân.
Do đó $SA=SC=2a\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a.a.a\sqrt{3}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án D.