Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ với...

Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $D$ là trung điểm $BC$ và $\widehat{ACB}={60}^0$ nên tam giác $ABD$ đều cạnh $a$ và $BC=2a,CA=a\sqrt{3}.$
Dựng $SH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ với $H\in \left(ABC\right)$.
$\Rightarrow H$ là tâm tam giác đều $BAD$ do $SA=SB=SD.$
Gọi hình chiếu của $H$ lên $AB,AC$ thứ tự là $E,F$.
Gọi $M$ là trung điểm đoạn $BD.$
$\Rightarrow AM=\sqrt{B{A}^2-B{M}^2}=\sqrt{a^2-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}.$
$\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{2}{3}}AM={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}$ và $HE=HM={\displaystyle \frac{AM}{3}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{6}}.$
Ta có: $SH\mathrm{\perp }BC,AM\mathrm{\perp }BC$ nên $BC\mathrm{\perp }\left(SAM\right).$
Kẻ $MN\mathrm{\perp }SA(N\in SA)$ thì $MN$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$ hay $MN={\displaystyle \frac{3a}{4}}.$
$\Rightarrow NA=\sqrt{M{A}^2-M{N}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}.$
Trong tam giác $SAM$ có $MN,SH$ là hai đường cao nên $AH.AM=AN.AS.$
$\Rightarrow AS={\displaystyle \frac{AH.AM}{AN}}={\displaystyle \frac{2a\sqrt{3}}{3}}\Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=a.$
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại $A$ và các trục tọa độ như hình vẽ với tia $Ox$ trùng với tia $AB,$ tia $Oy$ trùng với tia $AC$ và tia $Oz$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và có hướng theo $\overrightarrow{HS}.$ Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng $a.$
Khi đó: $A(0;0;0),B(1;0;0),C(0;\sqrt{3};0)$.
Do $HF=AE={\displaystyle \frac{a}{2}},HE=HM={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{6}}$ và $SH=a$ nên $S({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}};1).$
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(SAC\right)$ là
$\overrightarrow{n_1}=[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}]=(\sqrt{3};0;{\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}})$.
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(SBC\right)$ là
$\overrightarrow{n_2}=[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{SC}]=(-\sqrt{3};-1;{\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{3}}).$
Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBC\right),$ ta có:
$\cos \alpha =|\cos (\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2})|={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}}={\displaystyle \frac{\sqrt{65}}{13}}.$