Google
Câu hỏi: Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ với $AB=a,\widehat{ACB}={{30}^{0}}$ và $SA=SB=SD$ với $D$ là trung điểm $BC.$ Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng $\dfrac{3a}{4}.$ Tính cos góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$.
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{11}.$
B. 3
C. $\dfrac{\sqrt{65}}{13}.$
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{33}.$
Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $D$ là trung điểm $BC$ và $\widehat{ACB}={{60}^{0}}$ nên tam giác $ABD$ đều cạnh $a$ và $BC=2a,CA=a\sqrt{3}.$
Dựng $SH\bot \left( ABC \right)$ với $H\in \left( ABC \right)$.
$\Rightarrow H$ là tâm tam giác đều $BAD$ do $SA=SB=SD.$
Gọi hình chiếu của $H$ lên $AB,AC$ thứ tự là $E,F$.
Gọi $M$ là trung điểm đoạn $BD.$
$\Rightarrow AM=\sqrt{B{{A}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
$\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ và $HE=HM=\dfrac{AM}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.$
Ta có: $SH\bot BC,AM\bot BC$ nên $BC\bot \left( SAM \right).$
Kẻ $MN\bot SA\left( N\in SA \right)$ thì $MN$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$ hay $MN=\dfrac{3a}{4}.$
$\Rightarrow NA=\sqrt{M{{A}^{2}}-M{{N}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Trong tam giác $SAM$ có $MN,SH$ là hai đường cao nên $AH.AM=AN.AS.$
$\Rightarrow AS=\dfrac{AH.AM}{AN}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a.$
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại $A$ và các trục tọa độ như hình vẽ với tia $Ox$ trùng với tia $AB,$ tia $Oy$ trùng với tia $AC$ và tia $Oz$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và có hướng theo $\overrightarrow{HS}.$ Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng $a.$
Khi đó: $A\left( 0;0;0 \right),B\left( 1;0;0 \right),C\left( 0;\sqrt{3};0 \right)$.
Do $HF=AE=\dfrac{a}{2},HE=HM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ và $SH=a$ nên $S\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{6};1 \right).$
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( SAC \right)$ là
$\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS} \right]=\left( \sqrt{3};0;\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)$.
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( SBC \right)$ là
$\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{SC} \right]=\left( -\sqrt{3};-1;\dfrac{-\sqrt{3}}{3} \right).$
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right),$ ta có:
$\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{65}}{13}.$
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{11}.$
B. 3
C. $\dfrac{\sqrt{65}}{13}.$
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{33}.$
Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $D$ là trung điểm $BC$ và $\widehat{ACB}={{60}^{0}}$ nên tam giác $ABD$ đều cạnh $a$ và $BC=2a,CA=a\sqrt{3}.$
Dựng $SH\bot \left( ABC \right)$ với $H\in \left( ABC \right)$.
$\Rightarrow H$ là tâm tam giác đều $BAD$ do $SA=SB=SD.$
Gọi hình chiếu của $H$ lên $AB,AC$ thứ tự là $E,F$.
Gọi $M$ là trung điểm đoạn $BD.$
$\Rightarrow AM=\sqrt{B{{A}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
$\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ và $HE=HM=\dfrac{AM}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.$
Ta có: $SH\bot BC,AM\bot BC$ nên $BC\bot \left( SAM \right).$
Kẻ $MN\bot SA\left( N\in SA \right)$ thì $MN$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$ hay $MN=\dfrac{3a}{4}.$
$\Rightarrow NA=\sqrt{M{{A}^{2}}-M{{N}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Trong tam giác $SAM$ có $MN,SH$ là hai đường cao nên $AH.AM=AN.AS.$
$\Rightarrow AS=\dfrac{AH.AM}{AN}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a.$
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại $A$ và các trục tọa độ như hình vẽ với tia $Ox$ trùng với tia $AB,$ tia $Oy$ trùng với tia $AC$ và tia $Oz$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và có hướng theo $\overrightarrow{HS}.$ Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng $a.$
Khi đó: $A\left( 0;0;0 \right),B\left( 1;0;0 \right),C\left( 0;\sqrt{3};0 \right)$.
Do $HF=AE=\dfrac{a}{2},HE=HM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ và $SH=a$ nên $S\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{6};1 \right).$
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( SAC \right)$ là
$\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS} \right]=\left( \sqrt{3};0;\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)$.
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( SBC \right)$ là
$\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{SC} \right]=\left( -\sqrt{3};-1;\dfrac{-\sqrt{3}}{3} \right).$
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right),$ ta có:
$\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{65}}{13}.$
Đáp án C.