Google
Câu hỏi: Hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=2\text{x}-\ln \text{x}$ trên đoạn $\left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]$ là:
A. $2{{\text{e}}^{2}}-\dfrac{2}{e}-3$
B. $2{{\text{e}}^{2}}+\ln 2-3$
C. $2{{\text{e}}^{2}}-\ln 2-3$
D. $2{{\text{e}}^{2}}-\dfrac{2}{{{e}^{2}}}-3$
A. $2{{\text{e}}^{2}}-\dfrac{2}{e}-3$
B. $2{{\text{e}}^{2}}+\ln 2-3$
C. $2{{\text{e}}^{2}}-\ln 2-3$
D. $2{{\text{e}}^{2}}-\dfrac{2}{{{e}^{2}}}-3$
Hàm số $f(x)=2\text{x}-\ln x$ liên tục và xác định trên tập $\left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]$.
Ta có ${f}'(x)=2-\dfrac{1}{x}$ ; ${f}'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\in \left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]$.
$f\left( \dfrac{1}{e} \right)=\dfrac{2}{e}-\ln \dfrac{1}{e}=\dfrac{2}{e}+1;\ \text{f}\left( \dfrac{1}{2} \right)=2.\dfrac{1}{2}-\ln \dfrac{1}{2}=1+\ln 2;\text{ f}\left( {{e}^{2}} \right)=2{{\text{e}}^{2}}-\ln {{e}^{2}}=2{{\text{e}}^{2}}-2$.
Suy ra $\underset{\left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\max }} f(x)=2{{e}^{2}}-2$ tại $x={{e}^{2}}$ và $\underset{\left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\min }} f(x)=1+\ln 2$ tại $x=\dfrac{1}{2}$.
Vậy $\underset{\left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\max }} f(x)-\underset{\left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\min }} f(x)=2{{e}^{2}}-2-1-\ln 2=2{{e}^{e}}-\ln 2-3$.
Ta có ${f}'(x)=2-\dfrac{1}{x}$ ; ${f}'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\in \left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]$.
$f\left( \dfrac{1}{e} \right)=\dfrac{2}{e}-\ln \dfrac{1}{e}=\dfrac{2}{e}+1;\ \text{f}\left( \dfrac{1}{2} \right)=2.\dfrac{1}{2}-\ln \dfrac{1}{2}=1+\ln 2;\text{ f}\left( {{e}^{2}} \right)=2{{\text{e}}^{2}}-\ln {{e}^{2}}=2{{\text{e}}^{2}}-2$.
Suy ra $\underset{\left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\max }} f(x)=2{{e}^{2}}-2$ tại $x={{e}^{2}}$ và $\underset{\left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\min }} f(x)=1+\ln 2$ tại $x=\dfrac{1}{2}$.
Vậy $\underset{\left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\max }} f(x)-\underset{\left[ \dfrac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\min }} f(x)=2{{e}^{2}}-2-1-\ln 2=2{{e}^{e}}-\ln 2-3$.
Đáp án C.