Google
Câu hỏi: Hệ số của ${{x}^{3}}$ sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của ${{\left( \dfrac{1}{x}-x+2{{\text{x}}^{2}} \right)}^{9}}$, $x\ne 0$ là
A. $-2940$
B. 3210
C. 2940
D. $-3210$
A. $-2940$
B. 3210
C. 2940
D. $-3210$
Ta có: ${{\left( \dfrac{1}{x}-x+2{{\text{x}}^{2}} \right)}^{9}}={{\left[ \dfrac{1}{x}+x\left( 2\text{x}-1 \right) \right]}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{\left( \dfrac{1}{x} \right)}^{9-k}}.{{x}^{k}}.{{\left( 2\text{x}-1 \right)}^{k}}}$
$=\sum\limits_{k=0}^{9}{\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}C_{9}^{k}{{(-1)}^{k-i}}{{.2}^{i}}.{{x}^{2k+i-9}}}}$.
Theo yêu cầu bài toán ta có $2k+i-9=3\Leftrightarrow 2k+i=12;0\le i\le k\le 9;i,k\in \mathbb{N}$
Ta có các cặp $(i;k)$ thỏa mãn là $(0;6),(2;5),(4;4)$. Từ đó hệ số của ${{x}^{3}}$ là
$C_{6}^{0}C_{9}^{6}{{(-1)}^{6-0}}{{.2}^{0}}+C_{5}^{2}C_{9}^{5}{{(-1)}^{5-2}}{{.2}^{2}}+C_{4}^{4}C_{9}^{4}{{(-1)}^{4-4}}{{.2}^{4}}=-2940$.
Chú ý: Để tìm các cặp $(i;k)$ thỏa mãn $2k+i=12;\ 0\le i\le k\le 9;i,k\in \mathbb{N}$ ta biến đổi $i=12-2k$ sau đó dùng table nhập hàm $f(x)=12-2x$ chọn Start ? 0 End ? 9 Step 1 ? rồi dò máy chọn ra các cặp $\left( f(x),x \right)=(i;k)$ nguyên dương thỏa mãn.
$=\sum\limits_{k=0}^{9}{\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}C_{9}^{k}{{(-1)}^{k-i}}{{.2}^{i}}.{{x}^{2k+i-9}}}}$.
Theo yêu cầu bài toán ta có $2k+i-9=3\Leftrightarrow 2k+i=12;0\le i\le k\le 9;i,k\in \mathbb{N}$
Ta có các cặp $(i;k)$ thỏa mãn là $(0;6),(2;5),(4;4)$. Từ đó hệ số của ${{x}^{3}}$ là
$C_{6}^{0}C_{9}^{6}{{(-1)}^{6-0}}{{.2}^{0}}+C_{5}^{2}C_{9}^{5}{{(-1)}^{5-2}}{{.2}^{2}}+C_{4}^{4}C_{9}^{4}{{(-1)}^{4-4}}{{.2}^{4}}=-2940$.
Chú ý: Để tìm các cặp $(i;k)$ thỏa mãn $2k+i=12;\ 0\le i\le k\le 9;i,k\in \mathbb{N}$ ta biến đổi $i=12-2k$ sau đó dùng table nhập hàm $f(x)=12-2x$ chọn Start ? 0 End ? 9 Step 1 ? rồi dò máy chọn ra các cặp $\left( f(x),x \right)=(i;k)$ nguyên dương thỏa mãn.
Đáp án A.