Google
Câu hỏi: Hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục $\mathbb{R}$ trên thỏa mãn ${{f}^{2}}\left( -x \right)=\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)f\left( x+2 \right)$ với $f\left( x \right)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình là
A. $y=-2x+8.$
B. $y=x-4.$
C. $y=2x.$
D. $y=-x+4.$
A. $y=-2x+8.$
B. $y=x-4.$
C. $y=2x.$
D. $y=-x+4.$
Theo giả thiết ${{f}^{2}}\left( -x \right)=\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)f\left( x+2 \right),\left( * \right).$
Thay $x=0;x=-2$ vào (*) ta được$\left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{2}}\left( 0 \right)=4f\left( 2 \right) \\
& {{f}^{2}}\left( 2 \right)=4f\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{4}}\left( 0 \right)=64f\left( 0 \right) \\
& {{f}^{2}}\left( 2 \right)=4f\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=4 \\
& f\left( 2 \right)=4 \\
\end{aligned} \right.$
Lấy đạo hàm hai vế của (*), ta có
$-2{f}'\left( -x \right).f\left( -x \right)=\left( 2x+2 \right)f\left( x+2 \right)+\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right){f}'\left( x+2 \right) ,\left( ** \right)$
Thay $x=0;x=-2$ vào (**) ta được
$\left\{ \begin{aligned}
& -2{f}'\left( 0 \right).f\left( 0 \right)=2f\left( 2 \right)+4{f}'\left( 2 \right) \\
& -2{f}'\left( 2 \right).f\left( 2 \right)=-2f\left( 0 \right)+4{f}'\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2{f}'\left( 0 \right)=2+{f}'\left( 2 \right) \\
& -2{f}'\left( 2 \right)=-2+{f}'\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 0 \right)=-2 \\
& {f}'\left( 2 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $\left( 2;f\left( 2 \right) \right)$ có phương trình là
$y={f}'\left( 2 \right)\left( x-2 \right)+f\left( 2 \right)\Rightarrow y=2\left( x-2 \right)+4\Rightarrow y=2x.$
Thay $x=0;x=-2$ vào (*) ta được$\left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{2}}\left( 0 \right)=4f\left( 2 \right) \\
& {{f}^{2}}\left( 2 \right)=4f\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{4}}\left( 0 \right)=64f\left( 0 \right) \\
& {{f}^{2}}\left( 2 \right)=4f\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=4 \\
& f\left( 2 \right)=4 \\
\end{aligned} \right.$
Lấy đạo hàm hai vế của (*), ta có
$-2{f}'\left( -x \right).f\left( -x \right)=\left( 2x+2 \right)f\left( x+2 \right)+\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right){f}'\left( x+2 \right) ,\left( ** \right)$
Thay $x=0;x=-2$ vào (**) ta được
$\left\{ \begin{aligned}
& -2{f}'\left( 0 \right).f\left( 0 \right)=2f\left( 2 \right)+4{f}'\left( 2 \right) \\
& -2{f}'\left( 2 \right).f\left( 2 \right)=-2f\left( 0 \right)+4{f}'\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2{f}'\left( 0 \right)=2+{f}'\left( 2 \right) \\
& -2{f}'\left( 2 \right)=-2+{f}'\left( 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 0 \right)=-2 \\
& {f}'\left( 2 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $\left( 2;f\left( 2 \right) \right)$ có phương trình là
$y={f}'\left( 2 \right)\left( x-2 \right)+f\left( 2 \right)\Rightarrow y=2\left( x-2 \right)+4\Rightarrow y=2x.$
Đáp án C.