Google
Câu hỏi: Hàm số $y=\dfrac{a{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{b{{x}^{2}}}{2}+\left( c-5 \right)x+7$ có một điểm cực trị là $x=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}$
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{20}{7}$
B. ${{P}_{\min }}=\dfrac{100}{7}$
C. ${{P}_{\min }}=\dfrac{300}{13}$
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{7}{4}$
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{20}{7}$
B. ${{P}_{\min }}=\dfrac{100}{7}$
C. ${{P}_{\min }}=\dfrac{300}{13}$
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{7}{4}$
Ta có $y'=a{{x}^{2}}+bx+c-5$
Vì $x=1$ là điểm cực trị của hàm số nên $x=1$ là nghiệm của phương trình $y'=0$
$\Rightarrow a+b+c=5$
Khi đó $P=2{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{{{b}^{2}}}{\dfrac{1}{3}}+\dfrac{{{c}^{2}}}{\dfrac{1}{4}}\ge \dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{25}{\dfrac{13}{12}}=\dfrac{300}{13}$
Vậy ${{P}_{\min }}=\dfrac{300}{13}$
Vì $x=1$ là điểm cực trị của hàm số nên $x=1$ là nghiệm của phương trình $y'=0$
$\Rightarrow a+b+c=5$
Khi đó $P=2{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{{{b}^{2}}}{\dfrac{1}{3}}+\dfrac{{{c}^{2}}}{\dfrac{1}{4}}\ge \dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{25}{\dfrac{13}{12}}=\dfrac{300}{13}$
Vậy ${{P}_{\min }}=\dfrac{300}{13}$
Đáp án C.