Google
Câu hỏi: Hàm số $f(x)$ có đạo hàm đến cấp hai trên ℝ thỏa mãn: ${{f}^{2}}\left( 1-x \right)=\left( {{x}^{2}}+3 \right).f\left( x+1 \right)$. Biết rằng $f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{\left( 2\text{x}-1 \right){{f}'}'(x)d\text{x}}$.
A. 8
B. 4
C. 0
D. $-4$
A. 8
B. 4
C. 0
D. $-4$
Ta có ${{f}^{2}}\left( 1-x \right)=\left( {{x}^{2}}+3 \right).f\left( x+1 \right)\Rightarrow {{f}^{4}}\left( 1-x \right)={{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{2}}.{{f}^{2}}\left( x+1 \right)$ (1).
Thay x bởi $-x$ vào ${{f}^{2}}\left( 1-x \right)=\left( {{x}^{2}}+3 \right)f\left( x+1 \right)$ ta được ${{f}^{2}}\left( 1+x \right)=\left( {{x}^{2}}+3 \right).f\left( 1-x \right)$ (2).
Từ (1) và (2) $\Rightarrow f\left( 1-x \right)={{x}^{2}}+3={{\left( 1-x-1 \right)}^{2}}+3\Rightarrow f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}+3\Rightarrow {{f}'}'\left( x \right)=2$.
Lúc đó $I=\int\limits_{0}^{2}{\left( 2\text{x}-1 \right){{f}'}'\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( 4x-2 \right)d\text{x}}=\left. \left( 2{{\text{x}}^{2}}-2\text{x} \right) \right|_{0}^{2}=4$.
Thay x bởi $-x$ vào ${{f}^{2}}\left( 1-x \right)=\left( {{x}^{2}}+3 \right)f\left( x+1 \right)$ ta được ${{f}^{2}}\left( 1+x \right)=\left( {{x}^{2}}+3 \right).f\left( 1-x \right)$ (2).
Từ (1) và (2) $\Rightarrow f\left( 1-x \right)={{x}^{2}}+3={{\left( 1-x-1 \right)}^{2}}+3\Rightarrow f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}+3\Rightarrow {{f}'}'\left( x \right)=2$.
Lúc đó $I=\int\limits_{0}^{2}{\left( 2\text{x}-1 \right){{f}'}'\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( 4x-2 \right)d\text{x}}=\left. \left( 2{{\text{x}}^{2}}-2\text{x} \right) \right|_{0}^{2}=4$.
Đáp án B.