Google
Câu hỏi: Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$. Biết rằng tồn tại hằng số $a>0$ để
$\int\limits_{a}^{x}{\dfrac{f\left( t \right)}{{{t}^{4}}}}dt=2\sqrt{x}-6$, $\forall x>0$. Tính tích phân $\int\limits_{1}^{a}{f\left( x \right)dx}$ là
A. $\dfrac{21869}{5}$
B. $\dfrac{39364}{9}$
C. $4374$
D. $-\dfrac{40}{3}$
$\int\limits_{a}^{x}{\dfrac{f\left( t \right)}{{{t}^{4}}}}dt=2\sqrt{x}-6$, $\forall x>0$. Tính tích phân $\int\limits_{1}^{a}{f\left( x \right)dx}$ là
A. $\dfrac{21869}{5}$
B. $\dfrac{39364}{9}$
C. $4374$
D. $-\dfrac{40}{3}$
Lấy đạo hàm hai vế biểu thức $\int\limits_{a}^{x}{\dfrac{f\left( t \right)}{{{t}^{4}}}}dt=2\sqrt{x}-6$ ta được.
$\dfrac{f\left( x \right)}{{{x}^{4}}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}\sqrt{x}$. Suy ra $\int\limits_{a}^{x}{\dfrac{1}{\sqrt{t}}}dt=2\sqrt{x}-6\Leftrightarrow 2\sqrt{x}-2\sqrt{a}=2\sqrt{x}-6\Leftrightarrow a=9$.
Vậy $\int\limits_{1}^{a}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{9}{{{x}^{3}}\sqrt{x}dx}=\dfrac{39364}{9}$.
$\dfrac{f\left( x \right)}{{{x}^{4}}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}\sqrt{x}$. Suy ra $\int\limits_{a}^{x}{\dfrac{1}{\sqrt{t}}}dt=2\sqrt{x}-6\Leftrightarrow 2\sqrt{x}-2\sqrt{a}=2\sqrt{x}-6\Leftrightarrow a=9$.
Vậy $\int\limits_{1}^{a}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{9}{{{x}^{3}}\sqrt{x}dx}=\dfrac{39364}{9}$.
Đáp án B.