Google
Câu hỏi: Gọi V là thể tích nhỏ nhất của khối chóp tứ giác đều trong số các khối chóp tứ giác đều có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và đường thẳng chứa một cạnh bên hình chóp bằng $\sqrt{3}$. Khi đó V bằng bao nhiêu?
A. $V=3$.
B. $V=9$.
C. $V=9\sqrt{3}$.
D. $V=27$.
Xét hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đặt $AB=x,SO=h$. Với $O$ là tâm của hình vuông $ABCD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$. Qua $O$ kẻ đường thẳng $OH$ vuông góc với $SA$ với $H\in SA.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot OH$
Suy ra $OH$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $BD$.
Theo bài ra, ta có $d=d\left( SA,BD \right)=OH\Rightarrow OH=\sqrt{3}.$
Tam giác $SAO$ vuông tại $O$, có đường cao $OH$ suy ra
Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}h{{x}^{2}}\ge 9\Rightarrow V=9.$
A. $V=3$.
B. $V=9$.
C. $V=9\sqrt{3}$.
D. $V=27$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot OH$
Suy ra $OH$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $BD$.
Theo bài ra, ta có $d=d\left( SA,BD \right)=OH\Rightarrow OH=\sqrt{3}.$
Tam giác $SAO$ vuông tại $O$, có đường cao $OH$ suy ra
$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{h}^{2}}}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}.$
Lại có $\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{{{h}^{2}}}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}=\dfrac{1}{{{h}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\underset{AM-GM}{\mathop{\ge }} 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{{{h}^{2}}}.\dfrac{1}{{{x}^{4}}}}\Leftrightarrow h{{x}^{2}}\ge 27.$ Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}h{{x}^{2}}\ge 9\Rightarrow V=9.$
Đáp án B.