Google
Câu hỏi: Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y=\sqrt{x},y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$. Đường thẳng $x=a\left( 0<a<4 \right)$ cắt đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại $M$ (hình vẽ bên). Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\Delta OMH$ quanh trục $Ox$. Biết $V=2{{V}_{1}}$. Tính $a$.
A. 3.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. 2.
A. 3.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. 2.
Ta có $V=\pi \int\limits_{0}^{4}{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}dx=\pi \int\limits_{0}^{4}{xdx}=8\pi }\Rightarrow {{V}_{1}}=4\pi $
Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ trên $Ox$ mà $M\left( a;\sqrt{a} \right)\Rightarrow MK=\sqrt{a}$
Khối tròn xoay tạo thành khi quay $\Delta OMH$ quanh trục $Ox$ là hai khối nón có bán kính đáy $r=MK$, tổng chiều cao $h=OH$
Suy ra ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{\pi }{3}{{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}.4=\dfrac{4\pi a}{3}=4\pi \Rightarrow a=3$.
Thể tích khối nón: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ trên $Ox$ mà $M\left( a;\sqrt{a} \right)\Rightarrow MK=\sqrt{a}$
Khối tròn xoay tạo thành khi quay $\Delta OMH$ quanh trục $Ox$ là hai khối nón có bán kính đáy $r=MK$, tổng chiều cao $h=OH$
Suy ra ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{\pi }{3}{{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}.4=\dfrac{4\pi a}{3}=4\pi \Rightarrow a=3$.
Note 22: Phương pháp chung
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}$.Thể tích khối nón: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$.
Đáp án A.