Gọi $S$ là tổng các giá trị của tham số $m<0$ thỏa mãn giá trị nhỏ...

Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4mx-4{{m}^{2}}\Leftrightarrow \left( x-2m \right)\left( 3x+2m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2m \\
& x=-\dfrac{2m}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Với $m<0$ ta xét 2 trường hợp sau:

• TH1: Nếu $-\dfrac{2m}{3}\le 1\Leftrightarrow \dfrac{-3}{2}\le m<0\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\left( x-2m \right)\left( 3x+2m \right)\ge 0\left( \forall x\in \left[ 1;2 \right] \right)$

Suy ra hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left[ 1;2 \right]$
$\Rightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{Min}} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=101-2m-4{{m}^{2}}=12\Leftrightarrow m=\dfrac{-1\pm \sqrt{357}}{4}$ (loại)

• TH2: Nếu $\dfrac{-2m}{3}\ge 2\Leftrightarrow m\le -3\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\left( x-2m \right)\left( 3x+2m \right)\le 0\left( \forall x\in \left[ 1;2 \right] \right)$

Suy ra hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left[ 1;2 \right]$
$\Rightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{Min}} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=108-8m-8{{m}^{2}}=12\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=-4 \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{m\le -3}m=-4.$

• TH3: Nếu $\dfrac{-2m}{3}\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow -3<m<\dfrac{-3}{2}$

$\Rightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{Min}} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{-2m}{3} \right)=\dfrac{40{{m}^{3}}}{27}+100=12\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{\dfrac{-297}{5}}$
Vậy $m=-4$ là giá trị cần tìm.