Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[...

${{3}^{{{x}^{2}}-2x+1}}-{{\log }_{5}}{{\left( {{x}^{2}}-2x+6 \right)}^{8}}+10-\sqrt{-{{x}^{2}}+2x+m}<0$ $\Leftrightarrow {{3}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}-8{{\log }_{5}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+5 \right]+10-\sqrt{-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1+m}<0$.
Đặt $t={{\left( x-1 \right)}^{2}}$, $\left( t\ge 0 \right)$. Bất phương trình trở thành: ${{3}^{t}}-8{{\log }_{5}}\left( t+5 \right)+10-\sqrt{-t+1+m}<0$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}-8{{\log }_{5}}\left( t+5 \right)+10-\sqrt{-t+1+m}$ với $t\ge 0$.
${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3-8.\dfrac{1}{\left( t+5 \right).\ln 5}+\dfrac{1}{2\sqrt{-t+1+m}}$
Với mọi $t\ge 0$ ta có $t+5\ge 5\Leftrightarrow \left( t+5 \right)\ln 5>8\Rightarrow 8.\dfrac{1}{\left( t+5 \right)\ln 5}<1$
$\Rightarrow {{3}^{t}}\ln 3-8\dfrac{1}{\left( t+5 \right)\ln 5}>0, \forall t\ge 0$
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3-8.\dfrac{1}{\left( t+5 \right).\ln 5}+\dfrac{1}{2\sqrt{-t+1+m}}>0, \forall t\ge 0$
Do đó hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow f\left( t \right)\ge f\left( 0 \right)=3-\sqrt{1+m}$, $\forall t\ge 0$
Để bất phương trình có nghiệm thực $\Leftrightarrow 3-\sqrt{1+m}<0\Leftrightarrow 1+m>9\Leftrightarrow m>8$.
Mà $m\in \mathbb{Z}, m\in \left[ -100; 100 \right]$ $\Rightarrow m\in \left\{ 9; 10; 11; ....; 100 \right\}$.
Tổng các phần tử của tập $S$ là: $9+10+11+....+100=\dfrac{\left( 9+100 \right)92}{2}=5014$.