Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $2{{\log }_{2}}\left( 2x-2...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& x\ne 3 \\
\end{aligned} \right.$.
$2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{\left[ \left( 2x-2 \right)\left( x-3 \right) \right]}^{2}}=2$ $\Leftrightarrow {{\left( 2{{x}^{2}}-8x+6 \right)}^{2}}={{2}^{2}}$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{x}^{2}}-8x+6=2 \\
& 2{{x}^{2}}-8x+6=-2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-4x+2=0 \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-4x+4=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2+\sqrt{2} \\
& x=2-\sqrt{2} (l) \\
\end{aligned} \right. $.$ $
Phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow x=2$.
$\Rightarrow S=\left\{ 2; 2+\sqrt{2} \right\}$. Vậy tổng các nghiệm của $S$ là: $2+2+\sqrt{2}=4+\sqrt{2}$.