Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $a$ thỏa mãn mỗi nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{x}}\left( 5{{x}^{2}}-8x+3 \right)>2$ đều là nghiệm của bất phương trình ${{x}^{2}}-2x-{{a}^{4}}+1\ge 0$. Khi đó:
A. $S=\left( -\dfrac{\sqrt{10}}{5};\dfrac{\sqrt{10}}{5} \right).$
B. $S=\left( -\infty ;-\dfrac{\sqrt{10}}{5} \right]\cup \left[ \dfrac{\sqrt{10}}{5};+\infty \right).$
C. $S=\left[ -\dfrac{\sqrt{10}}{5};\dfrac{\sqrt{10}}{5} \right].$
D. $S=\left( -\infty ;-\dfrac{\sqrt{10}}{5} \right)\cup \left( \dfrac{\sqrt{10}}{5};+\infty \right).$
A. $S=\left( -\dfrac{\sqrt{10}}{5};\dfrac{\sqrt{10}}{5} \right).$
B. $S=\left( -\infty ;-\dfrac{\sqrt{10}}{5} \right]\cup \left[ \dfrac{\sqrt{10}}{5};+\infty \right).$
C. $S=\left[ -\dfrac{\sqrt{10}}{5};\dfrac{\sqrt{10}}{5} \right].$
D. $S=\left( -\infty ;-\dfrac{\sqrt{10}}{5} \right)\cup \left( \dfrac{\sqrt{10}}{5};+\infty \right).$
+ Xét phương trình ${{\log }_{x}}\left( 5{{x}^{2}}-8x+3 \right)>2$ $\left( 1 \right)$
Điều kiện xác định là:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x>0,x\ne 1 \\
5{{x}^{2}}-8x+3>0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x>0,x\ne 1 \\
x\in \left( -\infty ;\dfrac{3}{5} \right)\cup \left( 1;+\infty \right) \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow x\in \left( 0;\dfrac{3}{5} \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.
TH1: $x\in \left( 0;\dfrac{3}{5} \right)$, khi đó $x<1$ nên:
$\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-8x+3<{{x}^{2}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-8x+3>0\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<x<\dfrac{3}{2}$.
Kết hợp điều kiện $x\in \left( 0;\dfrac{3}{5} \right)$, suy ra nghiệm của bất phương trình trong trường hợp này là $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{5} \right)$
TH2: $x\in \left( 1;+\infty \right)$, khi đó $x>1$ nên :
$\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-8x+3>{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;\dfrac{1}{2} \right)\cup \left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$.
Kết hợp điều kiện $x\in \left( 1;+\infty \right)$ suy ra nghiệm của bất phương trình trong trường hợp này là $x\in \left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là T = $\Leftrightarrow x\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{5} \right)\cup \left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$
Ta có: ${{x}^{2}}-2x-{{a}^{4}}+1\ge 0$ $\Leftrightarrow {{a}^{4}}\le {{x}^{2}}-2x+1$ $\left( 2 \right)$
Để mỗi nghiệm của bất phương trình $\left( 1 \right)$ đều là nghiệm của bất phương trình $\left( 2 \right)$ thì:
$\Leftrightarrow {{a}^{4}}\le \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right),\forall x\in T$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1$, ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$. Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ :
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, để ${{a}^{4}}\le g\left( x \right),\forall x\in T$ thì:
${{a}^{4}}\le \dfrac{4}{25}\Leftrightarrow {{a}^{2}}\le \dfrac{2}{5}\Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{10}}{5}\le a\le \dfrac{\sqrt{10}}{5}$.
Note: Phương pháp chung
Bước 1: Tìm miền nghiệm của bất phương trình thứ nhất, giả sử miền nghiệm đó là $D$.
Bước 2: Cô lập tham số và khảo sát hàm số trên miền $D$ và đưa ra kết luận.
Điều kiện xác định là:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x>0,x\ne 1 \\
5{{x}^{2}}-8x+3>0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x>0,x\ne 1 \\
x\in \left( -\infty ;\dfrac{3}{5} \right)\cup \left( 1;+\infty \right) \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow x\in \left( 0;\dfrac{3}{5} \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.
TH1: $x\in \left( 0;\dfrac{3}{5} \right)$, khi đó $x<1$ nên:
$\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-8x+3<{{x}^{2}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-8x+3>0\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<x<\dfrac{3}{2}$.
Kết hợp điều kiện $x\in \left( 0;\dfrac{3}{5} \right)$, suy ra nghiệm của bất phương trình trong trường hợp này là $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{5} \right)$
TH2: $x\in \left( 1;+\infty \right)$, khi đó $x>1$ nên :
$\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-8x+3>{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;\dfrac{1}{2} \right)\cup \left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$.
Kết hợp điều kiện $x\in \left( 1;+\infty \right)$ suy ra nghiệm của bất phương trình trong trường hợp này là $x\in \left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là T = $\Leftrightarrow x\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{5} \right)\cup \left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$
Ta có: ${{x}^{2}}-2x-{{a}^{4}}+1\ge 0$ $\Leftrightarrow {{a}^{4}}\le {{x}^{2}}-2x+1$ $\left( 2 \right)$
Để mỗi nghiệm của bất phương trình $\left( 1 \right)$ đều là nghiệm của bất phương trình $\left( 2 \right)$ thì:
$\Leftrightarrow {{a}^{4}}\le \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right),\forall x\in T$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1$, ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$. Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ :
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, để ${{a}^{4}}\le g\left( x \right),\forall x\in T$ thì:
${{a}^{4}}\le \dfrac{4}{25}\Leftrightarrow {{a}^{2}}\le \dfrac{2}{5}\Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{10}}{5}\le a\le \dfrac{\sqrt{10}}{5}$.
Note: Phương pháp chung
Bước 1: Tìm miền nghiệm của bất phương trình thứ nhất, giả sử miền nghiệm đó là $D$.
Bước 2: Cô lập tham số và khảo sát hàm số trên miền $D$ và đưa ra kết luận.
Đáp án C.