Google
Câu hỏi: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số thực m để cho hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& \left( xy-1 \right){{4}^{xy}}=2\left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}} \\
& \dfrac{{{\left( x+2-\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}}{2xy-y-1}+\dfrac{18\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{2xy+x-{{x}^{2}}-y+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=m \\
\end{aligned} \right. $ có nghiệm $ \left( x;y \right)$thỏa mãn x và y là các số thực dương. Tích của tất cả các phần tử trong tập hợp S bằng
A. 30
B. 42
C. 60
D. 56
& \left( xy-1 \right){{4}^{xy}}=2\left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}} \\
& \dfrac{{{\left( x+2-\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}}{2xy-y-1}+\dfrac{18\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{2xy+x-{{x}^{2}}-y+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=m \\
\end{aligned} \right. $ có nghiệm $ \left( x;y \right)$thỏa mãn x và y là các số thực dương. Tích của tất cả các phần tử trong tập hợp S bằng
A. 30
B. 42
C. 60
D. 56
Ta có $\left( xy-1 \right){{4}^{xy}}=2\left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}}\Leftrightarrow \left( xy-1 \right){{.2}^{2xy-1}}=\left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}}$
$\Leftrightarrow \left( 2xy-1-1 \right){{.2}^{2xy-1}}=\left( {{x}^{2}}+y+1-1 \right){{.2}^{{{x}^{2}}+y+1}}\Leftrightarrow f\left( 2xy-1 \right)=f\left( {{x}^{2}}+y+1 \right)$
Với $f\left( t \right)=\left( t-1 \right){{.2}^{t}}$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow 2xy-1={{x}^{2}}+y+1$
$\Rightarrow 2xy-2={{x}^{2}}+y\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right).y={{x}^{2}}+2>0\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}$
Khi đó, phương trình hai trở thành: $\dfrac{\left( x+2-\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{{{x}^{2}}+1}+\dfrac{18\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x+2+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=m$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x+2-\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)}^{2}}+\dfrac{18}{\dfrac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+1}=m\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-1 \right)}^{2}}+\dfrac{18}{\dfrac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+1}=m$ (*)
Đặt $a=\dfrac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+1$ mà $x>\dfrac{1}{2}\Rightarrow a\in \left( 1;1+\sqrt{5} \right)$ (khảo sát hàm số ${{a}_{x}}$ )
Do đó (*) $\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+\dfrac{18}{a}=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $7\le m<9$ (lập bảng biến thiên)
Vậy $m=7, m=8$ là hai giá trị nguyên cần tìm $\Rightarrow {{m}_{1}}{{m}_{2}}=56$.
$\Leftrightarrow \left( 2xy-1-1 \right){{.2}^{2xy-1}}=\left( {{x}^{2}}+y+1-1 \right){{.2}^{{{x}^{2}}+y+1}}\Leftrightarrow f\left( 2xy-1 \right)=f\left( {{x}^{2}}+y+1 \right)$
Với $f\left( t \right)=\left( t-1 \right){{.2}^{t}}$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow 2xy-1={{x}^{2}}+y+1$
$\Rightarrow 2xy-2={{x}^{2}}+y\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right).y={{x}^{2}}+2>0\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}$
Khi đó, phương trình hai trở thành: $\dfrac{\left( x+2-\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{{{x}^{2}}+1}+\dfrac{18\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x+2+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=m$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x+2-\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)}^{2}}+\dfrac{18}{\dfrac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+1}=m\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-1 \right)}^{2}}+\dfrac{18}{\dfrac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+1}=m$ (*)
Đặt $a=\dfrac{x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+1$ mà $x>\dfrac{1}{2}\Rightarrow a\in \left( 1;1+\sqrt{5} \right)$ (khảo sát hàm số ${{a}_{x}}$ )
Do đó (*) $\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+\dfrac{18}{a}=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $7\le m<9$ (lập bảng biến thiên)
Vậy $m=7, m=8$ là hai giá trị nguyên cần tìm $\Rightarrow {{m}_{1}}{{m}_{2}}=56$.
Đáp án D.