Google
Câu hỏi: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-9x+m+10 \right|$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ không vượt quá 12. Tổng giá trị các phần tử của tập hợp S bằng bao nhiêu?
A. 7.
B. 0.
C. 3.
D. 12.
A. 7.
B. 0.
C. 3.
D. 12.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-9x+m+10$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$.
Ta có ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-9\le 0,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$
( ${f}'\left( x \right)=0$ khi $x=3$ ). Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$.
Ta có: $f\left( 0 \right)=m+10$, $f\left( 3 \right)=m-8$. Từ đó ta có
$\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ \left| m+10 \right|;\left| m-8 \right| \right\}=\dfrac{\left| \left( m+10 \right)+\left( m-8 \right) \right|+\left| \left( m+10 \right)-\left( m-8 \right) \right|}{2}=\left| m+1 \right|+9$.
Theo yêu cầu bài toán ta có $\left| m+1 \right|+9\le 12\Leftrightarrow \left| m+1 \right|\le 3\Leftrightarrow m\in \left[ -4;2 \right]$.
Vậy $S=\left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2 \right\}$.
Suy ra tổng giá trị các phần tử của tập hợp S bằng 7.
Ta có ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-9\le 0,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$
( ${f}'\left( x \right)=0$ khi $x=3$ ). Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$.
Ta có: $f\left( 0 \right)=m+10$, $f\left( 3 \right)=m-8$. Từ đó ta có
$\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ \left| m+10 \right|;\left| m-8 \right| \right\}=\dfrac{\left| \left( m+10 \right)+\left( m-8 \right) \right|+\left| \left( m+10 \right)-\left( m-8 \right) \right|}{2}=\left| m+1 \right|+9$.
Theo yêu cầu bài toán ta có $\left| m+1 \right|+9\le 12\Leftrightarrow \left| m+1 \right|\le 3\Leftrightarrow m\in \left[ -4;2 \right]$.
Vậy $S=\left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2 \right\}$.
Suy ra tổng giá trị các phần tử của tập hợp S bằng 7.
Đáp án A.