Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình ${{16}^{x}}-m{{.4}^{x+1}}+5{{m}^{2}}-45=0$ có hai nghiệm phân biệt. Hỏi $S$ có bao nhiêu phần tử?
A. $13$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $4$.
A. $13$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $4$.
Đặt $t={{4}^{x}}$, $t>0$. Phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-4mt+5{{m}^{2}}-45=0$ $\left( * \right)$.
Với mỗi nghiệm $t>0$ của phương trình $\left( * \right)$ sẽ tương ứng với duy nhất một nghiệm $x$ của phương trình ban đầu. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{m}^{2}}+45>0 \\
& 4m>0 \\
& 5{{m}^{2}}-45>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3\sqrt{5}<m<3\sqrt{5} \\
& m>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m<-3 \\
& m>3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow 3<m<3\sqrt{5}$.
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 4; 5; 6 \right\}$.
Với mỗi nghiệm $t>0$ của phương trình $\left( * \right)$ sẽ tương ứng với duy nhất một nghiệm $x$ của phương trình ban đầu. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{m}^{2}}+45>0 \\
& 4m>0 \\
& 5{{m}^{2}}-45>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3\sqrt{5}<m<3\sqrt{5} \\
& m>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m<-3 \\
& m>3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow 3<m<3\sqrt{5}$.
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 4; 5; 6 \right\}$.
Đáp án B.