Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để...

Xét phương trình ${{27}^{x}}-\left( 2m-1 \right){{9}^{x}}+\left( {{m}^{2}}+2m-53 \right){{3}^{x}}-{{m}^{2}}+51=0,x\ge {{0}^{{}}}\left( 1 \right)$
Đặt $t={{3}^{x}}\left( t\ge 1 \right)$, khi đó:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{3}}-\left( 2m-1 \right){{t}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+2m-53 \right)t-{{m}^{2}}+51=0$
$\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left[ {{t}^{2}}+\left( -2m+2 \right)t+{{m}^{2}}-51 \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=1 \\
{{t}^{2}}+\left( -2m+2 \right)t+{{m}^{2}}-51={{0}^{{}}}\left( * \right) \\
\end{matrix} \right.$
Để $\left( 1 \right)$ có 3 nghiệm thì $\left( * \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt lớn 1:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta {{'}_{y'}}>0 \\
\dfrac{-b}{2a}>1 \\
af\left( 1 \right)>0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-51 \right)>0 \\
m-1>1 \\
{{1}^{2}}+\left( -2m+2 \right)1+{{m}^{2}}-51>0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{matrix}
m<26 \\
m>2 \\
{{m}^{2}}-2m-48>0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow 8<m<26$.