Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị $m$ để phương trình $m\ln x-x\ln m=x-m$ có $2$ nghiệm phân biệt. Tập $S$ là
A. $\left( \dfrac{1}{e};1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right).$
B. $\left( 1;e \right)\cup \left( e;+\infty \right).$
C. $\left[ \dfrac{1}{e};+\infty \right).$
D. $\left( 1;+\infty \right).$
A. $\left( \dfrac{1}{e};1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right).$
B. $\left( 1;e \right)\cup \left( e;+\infty \right).$
C. $\left[ \dfrac{1}{e};+\infty \right).$
D. $\left( 1;+\infty \right).$
Điều kiện $x>0;m>0$
Phương trình $m\ln x-x\ln m=x-m$ $\Leftrightarrow \dfrac{1+\ln x}{x}=\dfrac{1+\ln m}{m}$
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{1+\ln x}{x},\forall x>0$, ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{-\ln x}{{{x}^{2}}}$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$
Bảng biến thiên $f\left( x \right)=\dfrac{1+\ln x}{x},\forall x>0$
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra $0<\dfrac{1+\ln m}{m}<1$ hay $\left\{ \begin{aligned}
& 1+\ln m>0 \\
& 1+\ln m<m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{1}{e} \\
& m\ne 1 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $m\ln x-x\ln m=x-m$ $\Leftrightarrow \dfrac{1+\ln x}{x}=\dfrac{1+\ln m}{m}$
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{1+\ln x}{x},\forall x>0$, ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{-\ln x}{{{x}^{2}}}$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$
Bảng biến thiên $f\left( x \right)=\dfrac{1+\ln x}{x},\forall x>0$
& 1+\ln m>0 \\
& 1+\ln m<m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{1}{e} \\
& m\ne 1 \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án A.