Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m\in \mathbb{Z}$ và phương trình ${{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2}$ có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của $S$.
A. $1$.
B. $0$.
C. $3$.
D. $2$.
A. $1$.
B. $0$.
C. $3$.
D. $2$.
Điều kiện
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-6x+12>0 \\
& x+2>0 \\
& mx-5>0 \\
& mx-5\ne 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-2 \\
& mx>5 \\
& mx\ne 6 \\
\end{aligned} \right.\quad \left( I \right)$
Giải phương trình
$\begin{aligned}
& \quad {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2}\quad \quad \quad \quad pt\left( 1 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{mx-5}}\left( x+2 \right) \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+12=x+2 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-7x+10=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Khi $m<0\Rightarrow x<\dfrac{5}{m}<0$ Suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm
Khi $m=0\Rightarrow 0x>5$ không có $x$ thỏa điều kiện.
Khi $m>0\Rightarrow x>\dfrac{5}{m}>0$ khi đó $\left( I \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>\dfrac{5}{m} \\
& x\ne \dfrac{6}{m} \\
\end{aligned} \right.$
TH1. Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $x=2$ khi đó
$\left\{ \begin{aligned}
& 2>\dfrac{5}{m} \\
& 5=\dfrac{6}{m} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{2m-5}{m} \\
& m=\dfrac{6}{5} \\
\end{aligned} \right.>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{5}{2} \\
& m=\dfrac{6}{5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $
TH2. Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $x=5$ khi đó
$\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& 5>\dfrac{5}{m} \\
& 2<\dfrac{5}{m} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 2>\dfrac{5}{m} \\
& 2=\dfrac{6}{m} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{5m-5}{m}>0 \\
& \dfrac{2m-5}{m}<0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 2>\dfrac{5}{m} \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& 0<m<\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1<m<\dfrac{5}{2} \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy các giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài là $m=3\vee 1<m<\dfrac{5}{2}$
Vậy $S=\left\{ 2;3 \right\}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-6x+12>0 \\
& x+2>0 \\
& mx-5>0 \\
& mx-5\ne 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-2 \\
& mx>5 \\
& mx\ne 6 \\
\end{aligned} \right.\quad \left( I \right)$
Giải phương trình
$\begin{aligned}
& \quad {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2}\quad \quad \quad \quad pt\left( 1 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{mx-5}}\left( x+2 \right) \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+12=x+2 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-7x+10=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Khi $m<0\Rightarrow x<\dfrac{5}{m}<0$ Suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm
Khi $m=0\Rightarrow 0x>5$ không có $x$ thỏa điều kiện.
Khi $m>0\Rightarrow x>\dfrac{5}{m}>0$ khi đó $\left( I \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>\dfrac{5}{m} \\
& x\ne \dfrac{6}{m} \\
\end{aligned} \right.$
TH1. Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $x=2$ khi đó
$\left\{ \begin{aligned}
& 2>\dfrac{5}{m} \\
& 5=\dfrac{6}{m} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{2m-5}{m} \\
& m=\dfrac{6}{5} \\
\end{aligned} \right.>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{5}{2} \\
& m=\dfrac{6}{5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $
TH2. Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $x=5$ khi đó
$\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& 5>\dfrac{5}{m} \\
& 2<\dfrac{5}{m} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 2>\dfrac{5}{m} \\
& 2=\dfrac{6}{m} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{5m-5}{m}>0 \\
& \dfrac{2m-5}{m}<0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 2>\dfrac{5}{m} \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& 0<m<\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1<m<\dfrac{5}{2} \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy các giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài là $m=3\vee 1<m<\dfrac{5}{2}$
Vậy $S=\left\{ 2;3 \right\}$.
Đáp án D.