Google
Câu hỏi: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
${{m}^{2}}\left( {{\ln }^{4}}x-16 \right)+3m\left( {{\ln }^{2}}x-4 \right)-14\left( \ln \text{x}-2 \right)\ge 0$ đúng với mọi $x\in (0;+\infty )$. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:
A. $-\dfrac{3}{8}$
B. $-2$
C. $-\dfrac{7}{8}$
D. $\dfrac{1}{2}$
${{m}^{2}}\left( {{\ln }^{4}}x-16 \right)+3m\left( {{\ln }^{2}}x-4 \right)-14\left( \ln \text{x}-2 \right)\ge 0$ đúng với mọi $x\in (0;+\infty )$. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:
A. $-\dfrac{3}{8}$
B. $-2$
C. $-\dfrac{7}{8}$
D. $\dfrac{1}{2}$
Đặt $t=\ln \text{x},t\in \mathbb{R}$ ta có $f(t)={{m}^{2}}\left( {{t}^{4}}-16 \right)+3m\left( {{t}^{2}}-4 \right)-14\left( t-2 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left[ {{m}^{2}}\left( {{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+4t+8 \right)+3m\left( t+2 \right)-14 \right]\ge 0\Leftrightarrow \left( t-2 \right)g(t)\ge 0$.
Ta có bất phương trình đã cho nghiệm đúng $\forall x\in (0;+\infty )\Leftrightarrow f(t)\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}$.
Nếu $t=2$ không phải là nghiệm của $g(t)$ thì $f(t)$ sẽ đổi dấu khi đi qua $t=2$.
Do đó điều kiện cần để $f(t)\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}$ là $t=2$ phải là nghiệm của $g(t)=0$
$\Rightarrow g(2)=0\Leftrightarrow 32{{m}^{2}}+12m-14=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{1}{2} \\
& m=-\dfrac{7}{8} \\
\end{aligned} \right.$.
Thử lại:
+ Với $m=\dfrac{1}{2}$ thì $f(t)=\dfrac{1}{4}{{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( {{t}^{2}}+4t+18 \right)\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên $m=\dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn).
+ Với $m=-\dfrac{7}{8}$ thì $f(t)=\dfrac{1}{64}{{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( 49{{t}^{2}}+196t+420 \right)\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên $m=-\dfrac{7}{8}$ (thỏa mãn).
Vậy tổng các phần tử của S là $\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{8}=-\dfrac{3}{8}$.
$\Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left[ {{m}^{2}}\left( {{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+4t+8 \right)+3m\left( t+2 \right)-14 \right]\ge 0\Leftrightarrow \left( t-2 \right)g(t)\ge 0$.
Ta có bất phương trình đã cho nghiệm đúng $\forall x\in (0;+\infty )\Leftrightarrow f(t)\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}$.
Nếu $t=2$ không phải là nghiệm của $g(t)$ thì $f(t)$ sẽ đổi dấu khi đi qua $t=2$.
Do đó điều kiện cần để $f(t)\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}$ là $t=2$ phải là nghiệm của $g(t)=0$
$\Rightarrow g(2)=0\Leftrightarrow 32{{m}^{2}}+12m-14=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{1}{2} \\
& m=-\dfrac{7}{8} \\
\end{aligned} \right.$.
Thử lại:
+ Với $m=\dfrac{1}{2}$ thì $f(t)=\dfrac{1}{4}{{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( {{t}^{2}}+4t+18 \right)\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên $m=\dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn).
+ Với $m=-\dfrac{7}{8}$ thì $f(t)=\dfrac{1}{64}{{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( 49{{t}^{2}}+196t+420 \right)\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên $m=-\dfrac{7}{8}$ (thỏa mãn).
Vậy tổng các phần tử của S là $\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{8}=-\dfrac{3}{8}$.
Đáp án A.