Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số thực...

Ta có: ${f}'\left( x \right)=2+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=\dfrac{2\sqrt{{{x}^{2}}-1}+mx}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$
Xét phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Rightarrow 2\sqrt{{{x}^{2}}-1}=-mx\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4\left( {{x}^{2}}-1 \right)={{m}^{2}}{{x}^{2}} \\
& -mx\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( 4-{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}=5 \\
& mx\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
TH1: Với $4-{{m}^{2}}\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m\le -2 \\
\end{aligned} \right.$ thì hệ (*) vô nghiệm do đó hàm số đã cho không có điểm cực trị.
TH2: Với $m=0$ hàm số trở thành $y=f\left( x \right)=2x$ khi này hàm số không có cực trị.
TH3: Với $\left[ \begin{aligned}
& 0<m<2 \\
& -2<m<0 \\
\end{aligned} \right. $ thì hệ phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{5}{4-{{m}^{2}}} \\
& mx\le 0 \\
\end{aligned} \right.$ luôn có nghiệm nên hàm số luôn có điểm cực trị.
Vậy hàm số không có cực trị khi $\left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m\le -2 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -30;30 \right]$ suy ra có 59 giá trị của tham số m.