Gọi $S$ là tập giá trị nguyên $m\in \left[ 0;100 \right]$ để hàm...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+4{{m}^{3}}-12m-8$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6mx$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2m \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+4{{m}^{3}}-12m-8 \right|$ có 5 cực trị $\Leftrightarrow f\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị trái dấu $\Leftrightarrow $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& \left( 4{{m}^{3}}-12m-8 \right)\left( 8{{m}^{3}}-12{{m}^{3}}+4{{m}^{3}}-12m-8 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& \left( 4{{m}^{3}}-12m-8 \right)\left( -12m-8 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp với $m\in \left[ 0;100 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta được $m\in \left\{ 3;4;...,100 \right\}$.
Vậy $S=\left\{ 3,4,...,100 \right\}$.
Tổng các phần tử của $S$ là $5047$.