Gọi $S$ là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số $m\in...

Điều kiện $\{\begin{array}{rl}& x>-1\\ & 6x^2+12x+m-1>0\end{array}(\ast )$.
$\log (60x^2+120x+10m-10)-3\log (x+1)>1\iff 1+\log (6x^2+12x+m-1)-\log {(x+1)}^3>1$
$\iff \log (6x^2+12x+m-1)>\log {(x+1)}^3\iff 6x^2+12x+m-1>{(x+1)}^3$ $\left(1\right)$
$\iff 6x^2+12x+m-1>x^3+3x^2+3x+1\iff m-2>x^3-3x^2-9x=f\left(x\right)$.
Từ $\left(1\right)$ $\Rightarrow$ Hệ điều kiện $(\ast )$ trở thành: $x>-1$.
Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x$ trên khoảng $(-1;+\mathrm{\infty })$.
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x-9$. Đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x-9=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-1\\ & x=3\end{array}$.
Bảng biến thiên:
Để bất phương trình $\log (60x^2+120x+10m-10)-3\log (x+1)>1$ có miền nghiệm chứa đúng
4 giá trị nguyên của biến $x$ khi $-11<m-2\le 0\iff -9<m\le 2\stackrel{m\in [0;2023]}{\to }0\le m\le 2.$.
Vậy có $3$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.