Gọi $S$ là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số $m\in...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& 6{{x}^{2}}+12x+m-1>0 \\
\end{aligned} \right. \left( * \right)$.
$\log \left( 60{{x}^{2}}+120x+10m-10 \right)-3\log \left( x+1 \right)>1\Leftrightarrow 1+\log \left( 6{{x}^{2}}+12x+m-1 \right)-\log {{\left( x+1 \right)}^{3}}>1$
$\Leftrightarrow \log \left( 6{{x}^{2}}+12x+m-1 \right)>\log {{\left( x+1 \right)}^{3}}\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+12x+m-1>{{\left( x+1 \right)}^{3}}$ $\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+12x+m-1>{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1\Leftrightarrow m-2>{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x=f\left( x \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ $\Rightarrow $ Hệ điều kiện $\left( * \right)$ trở thành: $x>-1$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x$ trên khoảng $\left( -1; +\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-9$. Đạo hàm ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Để bất phương trình $\log \left( 60{{x}^{2}}+120x+10m-10 \right)-3\log \left( x+1 \right)>1$ có miền nghiệm chứa đúng
4 giá trị nguyên của biến $x$ khi $-11<m-2\le 0\Leftrightarrow -9<m\le 2\xrightarrow{m\in \left[ 0;2023 \right]}0\le m\le 2.$.
Vậy có $3$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.