Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $\log \left( 60{{x}^{2}}+120x+10m-10 \right)-3\log \left( x+1 \right)>1$ có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của biến $x$. Số phần tử của $S$ là
A. $10$ .
B. $12$
C. $9$
D. $11$
A. $10$ .
B. $12$
C. $9$
D. $11$
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& 60{{x}^{2}}+120x+10m-10>0 \\
& x>-1 \\
\end{aligned} \right.$.
$\log \left( 60{{x}^{2}}+120x+10m-10 \right)-3\log \left( x+1 \right)>1$
$\Leftrightarrow 1+\log \left( 6{{x}^{2}}+12x+m-1 \right)>\log {{\left( x+1 \right)}^{3}}+1$
$\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+12x+m-1>{{\left( x+1 \right)}^{3}}\left( * \right)$.
Từ $\left( * \right)\Rightarrow $ điều kiện: $x>-1$.
$\left( * \right)$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x<m-2$.
Xét $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x$ với $x>-1$.
${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-9$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Để miền nghiệm chứa 4 giá trị nguyên của biến $x$ thì $-11<m-2\le 0\Leftrightarrow -9<m\le 2$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên có 11 giá trị của tham số $m$ thoả mãn yêu cầu bài.
& 60{{x}^{2}}+120x+10m-10>0 \\
& x>-1 \\
\end{aligned} \right.$.
$\log \left( 60{{x}^{2}}+120x+10m-10 \right)-3\log \left( x+1 \right)>1$
$\Leftrightarrow 1+\log \left( 6{{x}^{2}}+12x+m-1 \right)>\log {{\left( x+1 \right)}^{3}}+1$
$\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+12x+m-1>{{\left( x+1 \right)}^{3}}\left( * \right)$.
Từ $\left( * \right)\Rightarrow $ điều kiện: $x>-1$.
$\left( * \right)$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x<m-2$.
Xét $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x$ với $x>-1$.
${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-9$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên có 11 giá trị của tham số $m$ thoả mãn yêu cầu bài.
Đáp án D.