Gọi $S$ là tập các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số...

Điều kiện xác định: $x>-m-2.$ Ta có ${y}'=2x+\dfrac{1}{x+m+2}$
$=\dfrac{2{{x}^{2}}+2\left( m+2 \right)x+1}{x+m+2}, {y}'=0\Leftrightarrow g\left( x \right)=2{{x}^{2}}+2\left( m+2 \right)x+1=0 \left( 1 \right)$
TH1: ${\Delta }'={{m}^{2}}+4m+2\le 0\Leftrightarrow -2-\sqrt{2}\le m\le -2+\sqrt{2},$ khi đó ${y}'\ge 0 \forall x\in \left( -m-2;+\infty \right).$
TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-2-\sqrt{2} \\
& m>-2+\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.,\left( * \right). $ Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt $ {{x}_{1}},{{x}_{2}}.$
Theo Viet: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\left( m+2 \right) \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.. $ Hàm số đồng biến trên $ \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right) $ và $ \left( {{x}_{2}};+\infty \right).$
Đề ${y}'\ge 0 \forall x\in \left( -m-2;+\infty \right)$ cần có: ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le -\left( m+2 \right).$ Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}<-\left( m+2 \right) \\
& 2.g\left( -\left( m+2 \right) \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow m<-2. \left( ** \right)$
Kết hợp (*) và (**) có $m<-2-\sqrt{2}.$ Hợp hai trường hợp có các giá trị cần tìm của $m$ là
$S=\left( -\infty ;-2+\sqrt{2} \right]\Rightarrow a=-2,b=2$ nên $K=a+b=0.$