Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua bốn điểm $A\left( 2;0;0...

Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm mặt cầu.
Lập hộ phương trình ẩn a, b, c dựa vào điều kiện $IA=IB=IC=ID.$
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 1;3;0 \right),C\left( -1;0;3 \right),D\left( 1;2;3 \right).$
Khi đó $IA=IB=IC=ID\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
A{{I}^{2}}=B{{I}^{2}} \\
A{{I}^{2}}=C{{I}^{2}} \\
C{{I}^{2}}=D{{I}^{2}} \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}+{{c}^{2}} \\
{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}} \\
{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}} \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4\text{a}+4=-2\text{a}+1-6b+9 \\
& -4\text{a}+4=2\text{a}+1-6c+9 \\
& 2\text{a}+1=-2\text{a}+1-4b+4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2\text{a}+6b=6 \\
& -6\text{a}+6c=6 \\
& 4\text{a}+4b=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $I\left( 0;1;1 \right)$ và $R=IA=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{6}.$