Google
Câu hỏi: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình ${{16}^{x}}-m{{.4}^{x+1}}+5{{m}^{2}}-45=0$ có hai nghiệm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu phần tử là số chẵn?
A. $2.$
B. $3.$
C. $6.$
D. $4.$
A. $2.$
B. $3.$
C. $6.$
D. $4.$
Ta có: ${{16}^{x}}-m{{.4}^{x+1}}+5{{m}^{2}}-45=0\Leftrightarrow {{({{4}^{x}})}^{2}}-4m{{.4}^{x}}+5{{m}^{2}}-45=0$
Đặt ${{4}^{x}}=t(t>0)$ khi đó phương trình (*) trở thành: ${{t}^{2}}-4mt+5{{m}^{2}}-45=0$
Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '=4{{m}^{2}}-(5{{m}^{2}}-45)>0 \\
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 45-{{m}^{2}}>0 \\
& 4m>0 \\
& 5{{m}^{2}}-45>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3\sqrt{5}<m<3\sqrt{5} \\
& m>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m<-3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 3<m<3\sqrt{5}$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m\in \left\{ 4;5;6 \right\}$ $\Rightarrow $ có 2 giá trị m chẵn thỏa mãn.
Đặt ${{4}^{x}}=t(t>0)$ khi đó phương trình (*) trở thành: ${{t}^{2}}-4mt+5{{m}^{2}}-45=0$
Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '=4{{m}^{2}}-(5{{m}^{2}}-45)>0 \\
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 45-{{m}^{2}}>0 \\
& 4m>0 \\
& 5{{m}^{2}}-45>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3\sqrt{5}<m<3\sqrt{5} \\
& m>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m<-3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 3<m<3\sqrt{5}$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m\in \left\{ 4;5;6 \right\}$ $\Rightarrow $ có 2 giá trị m chẵn thỏa mãn.
Đáp án A.
