Gọi hàm số $f (x)$ thỏa mãn ${{\left( {f}'\left( x...

The Knowledge · 16/1/22

Câu hỏi: Gọi hàm số

f (x)

thỏa mãn

{(f^{'} (x))}^{2} + f (x) . {f^{'}}^{'} (x) = 2018, \forall x \in R

và

f (0) = f^{'} (0) = 1

. Gọi

(H)

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

f (x)

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0, x = 2

. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay

(H)

quanh trục Ox.
A.

V = {(\frac{8090}{3})}^{2} π

B.

V = 4036 π

C.

V = \sqrt{\frac{8090}{3}} π

D.

V = \frac{8090 π}{3}

Ta có

{(f^{'} (x))}^{2} + f (x) . {f^{'}}^{'} (x) = 2018 x \Leftrightarrow {(f^{'} (x) . f (x))}^{'} = 2018 x

\Leftrightarrow f^{'} (x) . f (x) = \int 2018 x d x = 1009 x^{2} + C_{1}

mà

f (0) = f^{'} (0) = 1 \Rightarrow C = 1

Do đó

f^{'} (x) . f (x) = 1009 x^{2} + 1 \Leftrightarrow \int f (x) . f^{'} (x) d x = \int (1009 x^{2} + 1) d x

\Leftrightarrow \int f (x) d [f (x)] = \frac{1009}{3} x^{3} + x + C_{2} \Leftrightarrow \frac{f^{2} (x)}{2} = \frac{1009}{3} x^{3} + x + C_{2}

Mặt khác

f (0) = 1 \Rightarrow C_{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow f^{2} (x) = \frac{2018}{3} x^{3} + 2 x + 1

Vậy

V = π \int_{0}^{2} f^{2} (x) d x = π \int_{0}^{2} (\frac{2018}{3} x^{3} + 2 x + 1) d x = \frac{8090 π}{3}

.

Đáp án D.

Gọi hàm số f(x) thỏa mãn ${{\left( {f}'\left( x...