Google
Câu hỏi: Gọi hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn ${{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right).{{f}'}'\left( x \right)=2018,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)={f}'\left( 0 \right)=1$. Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=2$. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục Ox.
A. $V={{\left( \dfrac{8090}{3} \right)}^{2}}\pi $
B. $V=4036\pi $
C. $V=\sqrt{\dfrac{8090}{3}}\pi $
D. $V=\dfrac{8090\pi }{3}$
A. $V={{\left( \dfrac{8090}{3} \right)}^{2}}\pi $
B. $V=4036\pi $
C. $V=\sqrt{\dfrac{8090}{3}}\pi $
D. $V=\dfrac{8090\pi }{3}$
Ta có ${{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right).{{f}'}'\left( x \right)=2018x\Leftrightarrow {{\left( {f}'\left( x \right).f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=2018x$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right).f\left( x \right)=\int{2018xdx=1009{{x}^{2}}+{{C}_{1}}}$ mà $f\left( 0 \right)={f}'\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1$
Do đó ${f}'\left( x \right).f\left( x \right)=1009{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow \int{f\left( x \right).{f}'\left( x \right)dx}=\int{\left( 1009{{x}^{2}}+1 \right)dx}$
$\Leftrightarrow \int{f\left( x \right)d\left[ f\left( x \right) \right]}=\dfrac{1009}{3}{{x}^{3}}+x+{{C}_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\dfrac{1009}{3}{{x}^{3}}+x+{{C}_{2}}$
Mặt khác $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow {{C}_{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)=\dfrac{2018}{3}{{x}^{3}}+2x+1$
Vậy $V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( \dfrac{2018}{3}{{x}^{3}}+2x+1 \right)dx}=\dfrac{8090\pi }{3}$.
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right).f\left( x \right)=\int{2018xdx=1009{{x}^{2}}+{{C}_{1}}}$ mà $f\left( 0 \right)={f}'\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1$
Do đó ${f}'\left( x \right).f\left( x \right)=1009{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow \int{f\left( x \right).{f}'\left( x \right)dx}=\int{\left( 1009{{x}^{2}}+1 \right)dx}$
$\Leftrightarrow \int{f\left( x \right)d\left[ f\left( x \right) \right]}=\dfrac{1009}{3}{{x}^{3}}+x+{{C}_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\dfrac{1009}{3}{{x}^{3}}+x+{{C}_{2}}$
Mặt khác $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow {{C}_{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)=\dfrac{2018}{3}{{x}^{3}}+2x+1$
Vậy $V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( \dfrac{2018}{3}{{x}^{3}}+2x+1 \right)dx}=\dfrac{8090\pi }{3}$.
Đáp án D.