Google
Câu hỏi: Gọi $F\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right){{e}^{x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{x}}$. Tính $S=a+2b+c$
A. $S=-10$
B. $S=10$
C. $S=-2$
D. $S=12$
A. $S=-10$
B. $S=10$
C. $S=-2$
D. $S=12$
Do $F\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+bc+c \right){{e}^{x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{2}}$ nên
${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right){{e}^{x}}$. Ta có:
${F}'\left( x \right)=\left( 2ax+b \right){{e}^{x}}+\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right){{e}^{x}}=\left[ a{{x}^{2}}+\left( 2a+b \right)x+\left( b+c \right) \right]{{e}^{x}}=\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right){{e}^{x}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& 2a+b=-2 \\
& b+c=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-4 \\
& c=5 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ S=a+2b+c=-2$
${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right){{e}^{x}}$. Ta có:
${F}'\left( x \right)=\left( 2ax+b \right){{e}^{x}}+\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right){{e}^{x}}=\left[ a{{x}^{2}}+\left( 2a+b \right)x+\left( b+c \right) \right]{{e}^{x}}=\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right){{e}^{x}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& 2a+b=-2 \\
& b+c=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-4 \\
& c=5 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ S=a+2b+c=-2$
Đáp án C.