Google
Câu hỏi: Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2x+{{e}^{x}}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=2021$. Tính $F\left( 1 \right)$.
A. $e+2020$.
B. $e-2019$.
C. $e+2021$.
D. $e-2018$.
A. $e+2020$.
B. $e-2019$.
C. $e+2021$.
D. $e-2018$.
Cách 1: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2x+{{e}^{x}}$ là $F\left( x \right)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}+C$.
Theo yêu cầu bài toán ta có :
$F\left( 0 \right)={{0}^{2}}+{{e}^{0}}+C=2021\Leftrightarrow 1+C=2021\Leftrightarrow C=2020$
Nguyên hàm cần tìm là : $F\left( x \right)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}+2020$
$\Rightarrow F\left( 1 \right)={{1}^{2}}+{{e}^{1}}+2020=e+2021$
Vậy $F\left( 1 \right)=e+2021$.
Cách 2 : + $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+{{e}^{x}} \right)dx}=\left. \left( {{x}^{2}}+{{e}^{x}} \right) \right|_{0}^{1}=\left( 1+e \right)-\left( 0+1 \right)=e$
+ $F\left( 1 \right)=F\left( 0 \right)+\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2021+e$
Theo yêu cầu bài toán ta có :
$F\left( 0 \right)={{0}^{2}}+{{e}^{0}}+C=2021\Leftrightarrow 1+C=2021\Leftrightarrow C=2020$
Nguyên hàm cần tìm là : $F\left( x \right)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}+2020$
$\Rightarrow F\left( 1 \right)={{1}^{2}}+{{e}^{1}}+2020=e+2021$
Vậy $F\left( 1 \right)=e+2021$.
Cách 2 : + $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+{{e}^{x}} \right)dx}=\left. \left( {{x}^{2}}+{{e}^{x}} \right) \right|_{0}^{1}=\left( 1+e \right)-\left( 0+1 \right)=e$
+ $F\left( 1 \right)=F\left( 0 \right)+\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2021+e$
Đáp án C.