Google
Câu hỏi: Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{16-{{x}^{2}}}\left( -\sqrt{6}\le x\le \sqrt{6} \right)$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính thể tích $V$ của vật thể tròn xoay sinh ra bởi khi quay hình phẳng $D$ quanh trục $Ox$.
A. $V=8\pi \sqrt{6}-2\pi $.
B. $V=8\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}$.
C. $V=8\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3}$.
D. $V=4\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}$.
A. $V=8\pi \sqrt{6}-2\pi $.
B. $V=8\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}$.
C. $V=8\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3}$.
D. $V=4\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}$.
Cách 1 : Cung tròn khi quay quanh $Ox$ tạo thành một khối cầu có thể tích
$V=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}=8\pi \sqrt{6}$
Thể tích nửa khối cầu là ${{V}_{1}}=4\pi \sqrt{6}$.
Xét phương trình $\sqrt{x}=\sqrt{6-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+x-6=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=2$.
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-{{x}^{2}}}$, và hai đường thẳng $x=0,x=2$ quanh $Ox$ là ${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 6-{{x}^{2}}-x \right)dx}=\dfrac{22\pi }{3}$.
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=4\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}$.
Cách 2 : Cung tròn khi quay quanh $Ox$ tạo thành một khối cầu có thể tích
$V=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}=8\pi \sqrt{6}$
Xét phương trình $\sqrt{x}=\sqrt{6-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+x-6=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=2$.
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-{{x}^{2}}}$, và đường thẳng $y=0$ quanh $Ox$ là ${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{xdx}+\pi \int\limits_{2}^{\sqrt{6}}{\left( 6-{{x}^{2}} \right)dx}=2\pi +\dfrac{12\sqrt{6}-28}{3}\pi =4\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3}$.
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là
$V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=8\pi \sqrt{6}-\left( 4\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3} \right)=4\sqrt{6}\pi +\dfrac{22\pi }{3}$.
$V=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}=8\pi \sqrt{6}$
Thể tích nửa khối cầu là ${{V}_{1}}=4\pi \sqrt{6}$.
Xét phương trình $\sqrt{x}=\sqrt{6-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+x-6=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=2$.
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-{{x}^{2}}}$, và hai đường thẳng $x=0,x=2$ quanh $Ox$ là ${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 6-{{x}^{2}}-x \right)dx}=\dfrac{22\pi }{3}$.
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=4\pi \sqrt{6}+\dfrac{22\pi }{3}$.
Cách 2 : Cung tròn khi quay quanh $Ox$ tạo thành một khối cầu có thể tích
$V=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}=8\pi \sqrt{6}$
Xét phương trình $\sqrt{x}=\sqrt{6-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+x-6=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=2$.
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-{{x}^{2}}}$, và đường thẳng $y=0$ quanh $Ox$ là ${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{xdx}+\pi \int\limits_{2}^{\sqrt{6}}{\left( 6-{{x}^{2}} \right)dx}=2\pi +\dfrac{12\sqrt{6}-28}{3}\pi =4\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3}$.
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là
$V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=8\pi \sqrt{6}-\left( 4\pi \sqrt{6}-\dfrac{22\pi }{3} \right)=4\sqrt{6}\pi +\dfrac{22\pi }{3}$.
Đáp án D.