Gọi $A,a$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm...

Đặt $u\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m\Rightarrow {u}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3$
${u}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left[ 0;2 \right] \\
& x=-1\notin \left[ 0;2 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $u\left( 0 \right)=m;u\left( 1 \right)=m-2;u\left( 2 \right)=m+2$
Suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} u\left( x \right)=m+2;\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} u\left( x \right)=m-2\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\max \left\{ \left| m+2 \right|;\left| m-2 \right| \right\}.$
TH1. $\left( m-2 \right).\left( m+2 \right)<0\Rightarrow -2<m<2\Rightarrow a=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} y=0$ (loại)
(vì ko thỏa mãn giả thiết $Aa=12$ )
TH2. $m-2\ge 0\Leftrightarrow m\ge 2\Rightarrow a=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} y=m-2;A=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=m+2.$
Từ giả thiết $Aa=12\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( m-2 \right)=12\Leftrightarrow {{m}^{2}}=16\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4\left( TM \right) \\
& m=-4\left( k\text{o}TM \right) \\
\end{aligned} \right.$
TH3. $m+2\le 0\Leftrightarrow m\le -2\Rightarrow a=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} y=-\left( m+2 \right);\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=-\left( m-2 \right).$
Từ giả thiết $Aa=12\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( m-2 \right)=12\Leftrightarrow {{m}^{2}}=16\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4\left( k\text{o}TM \right) \\
& m=-4\left( TM \right) \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp các trường hợp suy ra $S=\left\{ -4;4 \right\}$
Vậy tổng các phần tử của $S$ bằng: $\left( -4 \right)+4=0.$